分离变量法(二维拉普拉斯方程)

第二章第二章分离变量法分离变量法2.32.3二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题„„考虑矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题考虑矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题,,设薄板上下两面绝热，板的两边设薄板上下两面绝热，板的两边始终保持零度，另外两边始终保持零度，另外两边的温度的温度分别为分别为和和，求板内稳恒状态下的温，求板内稳恒状态下的温度分布。即求解定解问题度分布。即求解定解问题::(0,)xxa==(0,)yxb==()fx()gx0(0,0),xxyyuuxayb+=(,0)(),(,)(),uxfxuxbgx==()0,(,)0.uyuay==(*)(1)(2)(3)解：变量分离形式的试探解(,)()()uxyXxYy=代入方程变量分离得两个常微分方程:()()0YyYyλ′′−=()()0XxXxλ′′+=(4)(5)由边界条件(3)得:0)0(=X()0Xa=考虑固有值问题(边值问题):()()0XxXxλ′′+=(4)0)0(=X()0Xa=将222πnnaλ=代入方程(2)得其通解为()nnyyaannnYyaebeππ−=+),3,2,1(=n由上一节结果知当222πnnaλ=),3,2,1(=n该问题才有非零解:2ππ()sin()sinnnnxnxXxCXxaa==时,或于是定解问题(*)的解可表示为:()1,()sinnnyyaannnnuxyaebexaπππ∞−==+∑又由边界条件（2）知002()sind,2()sind.annnnabbaannnabfxxxaanaebegxxxaaππππ−⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∫∫由上两式解出代入即得定解问题的解。,nnab(,)uxy0(0,0),xxyyuuxayb+=2(,0),(,),xuxeuxbx==()0,(,)0.uyuay==作业1：作业2：在矩形域内求Laplace方程的解，使其满足边界条件0,0xayb≤≤≤≤222220uuuxy∂∂∇=+=∂∂000,;0,0.xxayyyybuuAyuu======⎧⎪⎨==⎪⎩0r„„考虑半径为考虑半径为圆形薄板稳恒状态时的温度圆形薄板稳恒状态时的温度分布问题分布问题,,设薄板上下两面绝热，圆周边设薄板上下两面绝热，圆周边界的温度已知为界的温度已知为，且，且求板内稳恒状态下的温度分布。即求解定求板内稳恒状态下的温度分布。即求解定解问题解问题::()(02)fθθπ≤≤(0)(2)ffπ=0220222110(0),|().rruuurrrrrrufθθ=⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩（1）（2）解：变量分离形式的试探解(,)()()urRrθθΦ=代入方程得:2110RRRrr′′′′′Φ+Φ+Φ=分离变量，令其比值为常数，得:λ2rRrRRλ′′′′′+Φ=−=Φ由此可得两个常微分方程:0λ′′Φ+Φ=20rRrRRλ′′′+−=(3)(4)由于是单值函数，所以,即(,)urθ(,2)(,)ururθπθ+=(2)()θπθΦ+=Φ根据物理意义，圆内各点温度应该是有界的，因而|(0,)|,|(0)|uRθ+∞+∞即0,(2)().λθπθ′′Φ+Φ=⎧⎨Φ+=Φ⎩（5）因此我们得到两个常微分方程的定解问题：20,|(0)|.rRrRRRλ′′′⎧+−=⎨+∞⎩（6）2'''120xyaxyay++=欧拉方程（齐次）：txe=令则：222222d1d,ddtd1d1d.ddtdtyyxxyyyxxx⎧=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩2122dd(1)0ddtyyaayt+−+=代入得常系数微分方程：附录:周期性条件，此时（5）的解为方程的通解为方程的通解为2）0λ=000()ABθθΦ=+为任意常数，只有当时才满足00AB和00A＝0Φ00()BθΦ=对于问题（5），讨论：λ方程的通解为方程的通解为１）0λ()AeBeλθλθθ−−−Φ=+为任意常数，这样的函数不满足周期性条件，故舍去。0λAB和为任意常数0λ=00000()ln,,RrCrDCD=+将代入问题（6）的方程，得它的通解为：00|(0)|=0RC+∞∴∵这样，我们就得到方程（1）的一个解为0000001(,)()()2urRrBDaθθ=Φ==()cossinnnnAnBnθθθΦ=+于是它的通解为：220rRrRnR′′′+−=将代入问题（6）的方程，得欧拉方程：().nnnnnRrCrDr−=+2nλ=方程的通解为方程的通解为3）0λ()cossinABθλθλθΦ=+为任意常数，要满足周期为，则2(1,2,)nnλ==AB和2π(,)()()(cossin)nnnnnnurRranbnrθθθθ=Φ=+运用叠加原理，得到方程（运用叠加原理，得到方程（11）的满足单值性和有界）的满足单值性和有界性的级数解性的级数解011(,)(cossin)2nnnnuraanbnrθθθ∞==++∑|(0)|=0nnRD+∞∴∵()(n=1,2,).nnnRrCr∴=因此因此时，得到方程（时，得到方程（11）的一系）的一系列特解列特解2(1,2,)nnλ==为了确定系数为了确定系数，利用边界条件（，利用边界条件（22）得）得,nnab00011(,)(cossin)()2nnnnuraanbnrfθθθθ∞==++=∑200200()cosd(n=0,1,2,),()sind(n=1,2,).nnnnafnrbfnrππϕϕϕπϕϕϕπ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∫∫1＝其中1＝至此，定解问题至此，定解问题（（11）－（）－（22））得到解决。得到解决。将将代入得代入得2001011(,)[(cos()]()d()2nnrurnfrrrπθθϕϕϕπ∞=⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠∑∫,nnab作下面的恒等变换作下面的恒等变换()()11()()()()2()()11cos(){1[()()]}221={1}21111=21nininnniiiiiiknkekekekekekekkekeθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ∞∞−−−==−−−−−−−−−+−=++++−−−−−∑∑2k+()()11()()()()2()(11cos(){1[()()]}221={1}21111=21nininnniiiiiiknkekekekekekekkekeθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ∞∞−−−==−−−−−−−−−+−=++++−−−⋅−−∑∑)22211=(||1)212cos()kkkkkθϕ+−⋅+−−22200220001(,)()d()22cos()rrurfrrrrrrπθϕϕπθϕ−∴=+−−∫这个公式称为圆域内的这个公式称为圆域内的泊松公式泊松公式。。作业3：求解下述定解问题0220222110(0),|2sin2.rruuurrrrrruθθ=⎧∂∂∂++=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩（1）（2）