考研数学必背公式

高数概念[基础知识]因式分解公式：-=(-b)(+b+…++)(n为正偶数时)-=(+b)(-b+…+-)(n为正奇数时)+=(+b)(-b+…-+)二项式定理：=不等式：(1)a,b位实数，则○1；○2；○3≤.(2),…,0,则○1≥取整函数：x-1＜[x]x三角函数和差化积;积化和差(7)：sinα+sinβ=2(sin)(cos)sinαcosβ=(sin+cos)sinα-sinβ=2(cos)(sin)cosαcosβ=(cos+cos)cosα+cosβ=2(cos)(co)sinαsinβ=-(cos-cos)cosα-cosβ=2(sin)(sin)重要三角公式1+=1+==-=1-2=2-1=tan===±cot===万能公式：，则，函数图像sec(x)csc(x)cot(x)arcsin(x)arccos(x)arctan(x)arccot(x)[极限]定义函数极限x→•：（6）=A:∀𝓔0,∃𝛅0,当0|x-x0|𝛅时，恒有|f(x)-A|𝓔.=A:∀𝓔0,∃𝛅0,当0(x-x0)𝛅时，恒有|f(x)-A|𝓔.=A:∀𝓔0,∃𝛅0,当0(x0-x)𝛅时，恒有|f(x)-A|𝓔.=A:∀𝓔0,∃X0,当|x|X时,恒有|f(x)-A|𝓔.=A:∀𝓔0,∃X0,当xX时,恒有|f(x)-A|𝓔.=A:∀𝓔0,∃X0,当-xX时,恒有|f(x)-A|𝓔.数列极限n→∞：=A:∀𝓔0,∃N0,当nN时,恒有|Xn-A|𝓔.性质(1)唯一性:设=A，=B，则A=B.(2)局部有界性：若存在，则存在𝛅0,使f(x)在U={x｜0｜x-x0｜𝛅内有界.(3)局部保号性：○1(脱帽)若=A0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)0.○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内f(x)(≥)0，且=A(∃)，则A≥0.计算极限四则运算：设=A(∃),=B(∃),则○1=A±B.○2=A⋅B.○3=(B≠0).等价无穷小（9）ln(1+x),,(a0),,(洛必达法则：“”型：○1=0,=0;○2f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0○3=A或为∞.则“”型：○1=∞,=∞;○2f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0○3=A或为∞.则[注]洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则：1.单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件：(1)g(x)≤f(x)≤h(x);(2)limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)存在，且limf(x)=A.两种典型放缩：○1max{}≤≤n∙max{};○2n∙min{}≤≤n∙max{}选取的依据是谁在和式中去决定性作用海涅定理（归结原则）：设f(x)在(内有定义，则=A存在⟺对任何以为极限的数列{}（≠），极限=A存在.连续的两种定义：（1）（2）间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡[一元微分学]定义导数定义式：f’(x0)=｜x=x0==微分定义式：若y=A+o(),则dy=A.可导的判别:(1)必要条件:若函数f(x)在点处可导,则f(x)在点处连续.(2)充要条件:存在,都存在，且=.[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断.可微的判别：=0，则f(x)可微。（一元函数可微即可导）计算几个不常见的求导公式：(arccosx)’=-(arccotx)’=-莱布尼茨公式：(uv)(n)=u(n)v+C1nu(n-1)v’+…+uv(n)常见初等函数n阶导数：(n)=⋅lnna()(n)=[sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+)[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+)[ln(ax+b)](n)=(n≥1)构造辅助函数：要证+=0,只要构造F(x)=f(x)，证明=0.十大定理最值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则,其中分别为在[a,b]上的最小值和最大值.介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的∈[],,使得=.零点定理：如果函数f(x)在闭区间[]上连续，且满足f(a)⋅f(b)0,,使得=0.费马引理：设f(x)满足在点处则=0.罗尔：设f(x)满足则,使得=0拉格朗日中值：设f(x)满足则，使得f(b)-f(a)=(b-a),或者写成=柯西中值：设f(x),g(x)满足则，使得=.泰勒公式：(1)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式设f(x)在点的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x均有f(x)=f()++…++,其中介于,之间，(2)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式设f(x)在点处n阶可导，则存在的一个邻域，对于该邻域中的任一点，f(x)=f()++…++ο().麦克劳林：（9）=1+x++…++ο()sinx=x+…+(+ο()arcsinx=x+…++ο()tanx=x+++ο()arctanx=x+ο()cosx=1+…+(+ο()=1+x++…++ο()=1x++…++ο()ln(1+x)=x+…++ο()=1+αx++ο()函数性态单调判定：若y=f(x)在区间I上有0,则y=f(x)在I上严格单调增加；若y=f(x)在区间I上有0,则y=f(x)在I上严格单调减少。零点问题（方程根问题）：○1零点定理（存在性）○2单调性（唯一性）○3几何意义○4罗尔中值（构造辅助函数→=0）○5拉格朗日、柯西中值（即为定理方程的根）○6费马定理（取原函数F(x)→找极值→f(x)=0）○7罗尔原话若=0至多k个根，则=0至多k+1个根极值判定：（3）第一充分条件：设f(x)在x=处连续，在某去心领域(,)可导第二充分条件：设f(x)在x=处二阶可导，且=0，第三充分条件：设f(x)在x=处n阶可导，且=0(m=1,2,…,n-1),≠0(n2)则n为偶数时凹凸性判定：设f(x)在I上二阶可导,补充定义：设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点(0,1),有f[+(1-)]≥f()+(1-)f(),则称f(x)在(a,b)内是凸的;…≤…则…是凹的.拐点判定：（3）第一充分条件：设f(x)在点x=处连续,在点x=的某去心邻域(,)内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内变号,则点(,)为曲线上的拐点.第二充分条件：设f(x)在x=处三阶可导，且=0,0,则（,)为拐点.第三充分条件：设f(x)在x=处n阶可导，且=0(m=2,…,n-1),0(n2),则当n为奇数时，(,)为拐点.微分几何应用曲率：y=y(x)在(x,y(x))处的曲率公式为曲率半径：R=曲率圆：，[一元积分学]不定积分定义：设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x),对于该区间上任一点都有成立，则称F(x)在区间I上的一个原函数，称=F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分。原函数存在定理：连续函数f(x)必有原函数F(x)；若间断函数有原函数，也只能为振荡间断。定积分定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若存在定积分，则定积分的值为曲边梯形的面积(x轴上方取正，下方取负。定积分的精确定义：=[注]任意切分，任意取高定积分存在(可积)定理：○1充分条件,则存在.○2必要条件可积函数必有界.定积分的性质：(6)○1可拆性：无论a,b,c的大小，+○2保号性：若在[a,b]上f(x)g(x),则有特殊地，有.○3估值定理：设m,M分别是f(x)在[a,b]上的最小最大值，则有m(b-a)M(b-a)○4中值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得=(b-a).、、的奇偶,周期,有界,单调关系（1）奇偶性可导奇，则偶；可导偶，则奇可积奇，则；可积偶，则（2）周期性可导以T为周期，则以T为周期；可积以T为周期，则以T为周期（3）有界性若在有限区间(a,b)内有界，则在(a,b)内有界（4）单调性无明确结论变限积分定义：当定积分的上限变化、下限变化或上下限都变化时，称该积分为变限积分.变限积分的性质：(1)f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=在[a,b]上连续.(2)f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=在[a,b]上可导.(即只要变限积分F(x)=存在，就必然连续.)变限积分求导公式：==[]-.(x为”求导变量”，t为”积分变量”)反常积分通俗理解：无穷区间上的反常积分的概念和敛散性：===+(○3=○1+○2)无界函数的反常积分的概念和敛散性：若b是f(x)的唯一奇点,则=若c∈(a,b)是f(x)的唯一奇点，则=+(○3=○1+○2)计算基本积分公式：（24）凑微分：（复杂处理方法）换元法：（三角代换）（倒代换）（整体代换）不定积分分部积分：（推广）有理函数积分：N-L公式：（有原函数）分部积分：换元法：定积分华氏(点火)公式：区间再现公式：变限积分求导公式：积分几何应用均值：设,函数y(x)在上的平均值为平面曲线弧长(1)平面光滑曲线L由给出，则L=(2)平面光滑曲线L由参数式,给出，则L=(3)平面光滑曲线L由给出，则L=(4)平面光滑曲线L由给出，则L=平面图形面积：(1)S=(2)S=旋转曲面面积：(1)曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积(2)曲线(,)在区间[]上的曲线弧段绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积S=(3)曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积旋转体体积：(1)曲线y=y(x)与x=a,x=b(a＜b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积=(2)曲线y=(x)与y=≥0及x=a,x=b(a＜b)所及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积=(3)曲线y=y(x)与x=a,x=b(0≤a＜b)及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积=(4)曲线y=(x)与y=及x=a,x=b(0≤a≤b)所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积=[多元微分]基本概念1.极限的存在性：若二元函数f(x,y)在的去心领域内有定义，且(x,y)以任意方式(不考虑无定义点)趋于时，f(x,y)均趋向于A，则.2.连续性：如果，则称f(x,y)在点处连续.3.偏导数存在性：==214.可微：全增量=54线性增量=36若极限=0,则称在处可微.5.偏导数连续性:○1用定义法求,○2用公式法求,,并计算，○3若○1=○2，则在处的偏导数连续。6.存在计算多元函数微分遵循链式法则隐函数求导法设函数在的某邻域内有连续偏导数，并且，则在点的某邻域内恒能确定唯一的连续函数，且满足:○1;○2;○3有连续偏导数，且;多元函数极值必要条件：设处存在偏导数，则必有,充分条件：设有二阶连续偏导数，并设()是的驻点，记A=，B=,C=则条件极值：求在条件=0下的极值(1)构造拉格朗日函数=+(2)构造方程组，解出所有的((3)求备选点，其中最大值、最小值即为所求最值在某区域D上的最值：（1）求出f(x,y)在D内所有可疑点处的函数值；（2）求出f(x,y)在D的边界上的最值；（3）比较所有的函数值，得出最值[常微分方程]基础概念1.未知函数是一元函数的是常微分方程，多元函数的是偏微分方程2.未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶3.通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同，不含任意常数的解是特解4.线性微分方程：通解=全部解；非线性:通解全部解5.对于二阶线性齐次方程，设该方程的解,则++也是该方程的解的充要条件是=0；对于二阶线性非齐次方程，设该方程的解,则++也是该方程的解的充要条件是=1一阶微分方程变量可分离型：可化为变量可分离型：(1)，解法为：令u=,则，代入原