最优控制理论课程总结

中南大学信息科学与工程学院《最优控制理论》课程总结姓名：肖凯文班级：自动化1002班学号：0909100902任课老师：彭辉中南大学信息科学与工程学院1摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract：TheOptimalControlTheoryisthecoreoftheModernControlTheory，thedevelopmentofcontroltheorycomesfromtherequiresofthecontrolledobjects.Duringthe50years，therapiddevelopmentofthescientifictechnologyputsmorestricterrequiresforwardtomangcontrolledobjects，suchasthespacecraft，theguidemissile，thesatellite，theproductiveprocessofmodernindustrialfacilities，andsoon，andrequestssomeperformanceindexesthatwillbebestinmangcases.Tothecontrolproblem，itrequestspeopletoresearch,analyse，anddevisefromthepointofviewoftheOptimalControlTheory.TherearemangmajorproblemsoftheOptimalControlTheorystudying,suchasthebuildingthetimedomain’smodelorthefrenquencydomain’smodelaccordingtothecontrolledobjects,controllingacontrollawwithadmitting,makingthecontrolledobjectstoworkaccordingtothescheduledrequires,andmakingtheperformanceindextoreseachtoabestoptimalvalue.Keywords:TheOptimalControlTheroy，TheModernControlTheroy，TheTimeDomaint’sModel，TheFrequencydomain’sModel，TheControlLaw中南大学信息科学与工程学院2中南大学信息科学与工程学院3一、引言最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。在20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。而实际上碰到的更多的是容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们去探索、求解最优控制问题的新途径。在种种新方法中，有俩种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里亚金（Л.С.Понтрягин）的“极大值原理”；另一类是美国学者贝尔曼（R.E.Bellman）的“动态规划”[2]。受力学中哈密顿（Hamilton）原理的启发，庞特里亚金等人把“极大值原理”作为一种推测首先推测出来，随后不久又提供了一种严格的证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首先宣读。“动态规划”是贝尔曼在1953-1957年逐步创立的，他依旧最优性原理发展了变分学中的哈密顿—雅可比理论，构成了“动态规划”。它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法。在现代控制理论的形成和发展中，极大值原理、动态规划和卡尔曼（R.E.Kalman）的最优估计理论都起过重要的推动作用[3]。现代控制理论的形成和发展和数字计算机的飞速发展和广约应用密不可分。由于计算机的“在线”参与控制，这样，既不要求把控制器归结为简单的校正网络，也不一定要求有封闭形式的解析解，因此，使得最优控制的工程实现了可能。反过来又提出了许多新的理论问题，导致最优控制的直接和间接计算方法的大批研究成果的出现，进一步推动了控制理论的发展。二、最优控制的含义最优控制，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并且用数学语言严格的表示出来，最优控制可分为静态最有和动态最有两类。静态最优是指在稳定情况下实现最优，它反映系统达到稳态后的静态关系。中南大学信息科学与工程学院4系统中的各变量不随时间变化，而只表示对象在稳定情况下各参数之间的关系，其特性用代数方程来描述。大多数的生产过程受控对象可以用静态最优控制来处理，并且具有足够的精度。静态最有一般可用一个目标函数J=f（x）和若干个等式约束条件或不等式约束条件来描述。要求在满足约束条件下，使目标函数J为最大或最小[4]。动态最优是指系统从一个工况变化到另一个工况的变化过程中，应满足最有要求。在动态系统中，所有的参数都是时间的函数，其特性可用微分方程或差分方程来描述。动态最优控制要求寻找出控制作用的一个或一组数值，是特性指标在满足约束条件下为最优值。这样，目标函数不再是一般函数，而是函数的函数。因此，在数学上这是属于泛函数求极值的问题。受控系统的模型受控系统的数学模型即系统的微分方程，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的物理或化学规律。在集中参数情况下，动态系统的运动规律可以用一组一阶常微分方程即状态方程来描述，即.[],,xtfxtutt（2-1）式（2-1）中：x（t）表示n维状态变量；u（t）表示为r维控制向量；f（）是x（t）、u（t）和t的n维函数向量；t是实数变量，可以概括一切具有集中参数的受控数学模型。三、边界条件与目标集动态系统的运动过程是系统从状态空间的一个状态到另一个状态的转移，其运动轨迹在状态空间中形成曲线x（t）。为了确定要求的曲线x（t），需要确定曲线的两点边界值。因此，要求确定初始状态0xt和中端状态fxt，这是求解状态方程式必需的边界条件。最优控制问题中，初始时刻0t和初始状态x（0t）通常已知的，但是中端时刻ft和终端状态x（ft）可以固定，也可以自由。一般的说，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示，即中南大学信息科学与工程学院51,0ffNxtt（3-1）2,0ffNxtt（3-2）它们概括了对终端的一般要求。实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：M={fxt：fxt∈nR，1,0ffNxtt，2,0ffNxtt}（3-3）为简单起见，有时终端约束式（3-3）称为目标集[5]。四、容许控制控制向量u（t）的各个分向量iut往往是具有不同物理属性的控制量。在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件限制只能取值于一定范围。这种限制范围，通常可用约束条件0≤u（t）≤maxu（4-1）或iium，i=1，2，…，r（4-2）来表示。式（4-2）表示一个控制空间rR中包括原点在内的超方体，式（4-1）和（4-2）式都规定了rR空间中的一个闭集[6]。由控制约束条件所规定的点集为控制域，并记为uR。凡在闭区间[0t,ft]上有定义，且在控制域uR内取值的每一控制函数u（t）均称为容许控制，并记为u（t）∈uR。通常假定容许控制u（t）∈uR是一种有界连续函数或分段连续函数[7]。五、性能指标从给定初始状态x（0t）到目标集M的转移可通过不同的控制规律u(t)来实现，为了在各种可行的控制规律中找出一种效果最好的控制，这就需要首先建立一种评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。性能指标的内容和函数，取决于最优控制问题所完成的任务。不同的最优控制问题，就有不同的性能指标，即使是同一问题其性能指标也可能不同。尽管不能为各式各样的最优控制问题规定了一个性能指标的统一格式，但是通常情况下，对连续系统时间函数性能指标已可以归纳为以下三种类型。中南大学信息科学与工程学院61）综合型和波尔扎（Bola）型性能指标设综合性或波尔扎型性能指标为0[()][,][(),(),]ftfftxJuttLxtuttdt（5-1）式中：L为标量函数，它是向量x(t)和u(t)的函数，称为动态性能指标；为标量函数，与终端时间ft及终端状态fxt有关，[,]ffxtt称为终端性能指标；J为标量，对每个控制函数都有一个对应值；u()表示控制函数整体，而u(t)表示t时刻的控制向量[8]。式（5-1）类型的性能指标成为综合型和波尔扎问题，它可以用来描述具有终端约束下的最小积分控制，或在积分约束下的终端最小时间控制。2）积分型或拉格朗日（lagrange）型性能指标若不计终端性能指标，则式（5-1）称为0[()][(),(),]fttJuLxtuttdt（5-2）这时的性能指标称为积分型或拉格朗日问题，它更强调系统的过程要求。在自动控制中，要求调解过程的某种积分评价为最小（或最大）就属于这一类问题[9]。3）终端型或麦耶尔（Mager）型性能指标[()][,]ffxJutt（5-3）这时的性能指标称为终端或麦耶尔问题。这要求找出使终端的某一函数为最小（或最大）值的u（t），终端处某些变量的最终值不是预先规定的。综上所述，性能指标与系统所收的控制作用和系统的状态有关，但是它不仅取决于某个固定时刻的控制变量和状态变量，而且与状态转移过程中的控制向量u（t）和状态曲线x（t）有关，因此性能指标是一个泛函[10]。六、最优控制的求解方法最优控制研究的主要问题是根据建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制规律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值或极大值。静态最优问题的目标函数是一个多元普通函数，求解静态最优控制问题常用中南大学信息科学与工程学院7的方法有经典微分法、线性规划、分割法（优选法）和插值法等。动态最优问题的目标函数是一个泛函，求解最优控制问题常用的方法有经典变分法、极大（极小）值原理、动态规划和线性二次型最优控制法等。对于动态系统，当控制无约束时，采用经典微分法或经典变分法；当控制有约束时，采用极大值原理或动态规划；如果系统是线性的，性能指标是性能指标是二次型形式的，则可采用线性二次型最优控制问题求解。1.变分法变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。2.最小值原理最小值原理是由庞德亚金提出来的，它对于解决受约束的最优控制问题是很有效的。