数列、圆锥曲线练习题

一、单选题1、“4k6”是“方程表示椭圆”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件2、抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（）A、B、C、D、3、（2016•全国）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A、B、C、D、4、已知等比数列中，，，则=（）A、64B、128C、256D、5125、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A、B、C、D、6、(2015·新课标1卷）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A、B、C、10D、127、在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A、B、C、D、二、填空题8、（2015重庆）设,则的最大值为________.9、已知实数x，y满足约束条件，若目标函z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则a的取值范围是________10、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值______________，xy的最小值__________________三、解答题11、已知二次函数f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．（1）求f（x）的解析式；（2）若x＞0时，不等式f（x）﹣mx＞0恒成立，求实数m的取值范围．12、(2015·湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．13、（2015浙江）在中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若求的面积。14、设命题p：方程=1表示双曲线；命题q：方程y2=（k2﹣2k）x表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线．（1）若命题p为真，求实数k的取值范围；（2）若命题（¬p）∧q是真命题，求实数k的取值范围．答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】充要条件，椭圆的定义【解析】【分析】方程表示椭圆,则，解得4k6，且；所以C正确.2、【答案】B【考点】解三角形，抛物线的定义，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】依题意可得过点A作x轴的垂线AB，过点P作直线AB的垂线，垂足为B.由于PF=PB，所以所以的最小值即等价于的最小值，等价于直线AP与抛物线相切时的值.假设直线AP：，联立可得解得.所以.所以=.故选B.3、【答案】D【考点】三角形中的几何计算，解三角形的实际应用【解析】【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．；本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．4、【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】【分析】等比数列中，，，所以，，=128，故选B。【点评】简单题，等比数列中，。5、【答案】D【考点】余弦定理，双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】点是双曲线上的点，所以，是等边三角形，所以，,,,,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得：即,,所以渐近线的斜率,故选D.6、【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】【解答】∵公差d=1,S8=4S4,∴8a1+x8x7=4(4a1+x4x3),解得a1=,∴a10=a1+9d=+9=【分析】解等差数列间题关键在于熟记等差数列定义,性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.7、【答案】D【考点】等比数列的性质，余弦定理【解析】【解答】根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列,可知b2=ac①由余弦定理可知cosA=②又∵a2=c（a+c﹣b）∴a2=ac+c2﹣bc③联立①②③解得cosA=A∈（0，180°）∴∠A=故选D．【分析】先根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列能够得出b2=ac，再由余弦定理cosA=以及条件即可求出cosA，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．二、填空题8、【答案】3【考点】基本不等式【解析】【解答】由两边同时加上得两边同时开方即得：(且当且仅当时取“=”成立）,故填.【分析】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为(且当且仅当时取“=”）再利用此不等式来求解。本体属于中档题，注意等号成立的条件。9、【答案】a＜﹣2【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域，若a=0，则目标函数为z=2x，即此时函数在A（3，4）时取得最大值，不满足条件．当a≠0，由z=2x+ay得y=﹣x+，若a＞0，目标函数斜率﹣＜0，此时平移y=﹣x+，得y=﹣x+在点A（3，4）处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件．若a＜0，目标函数斜率﹣＞0，要使目标函数z=2x+ay仅在点A（3，4）处取得最小值，则﹣＜kAB=1，即a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．三、解答题10、【答案】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．∴f（x）=0的两个根为2与8则2+8=﹣a，2×8=b即a=﹣10，b=16∴f（x）=x2﹣10x+16（2）若x＞0时，不等式f（x）﹣mx＞0恒成立即若x＞0时，不等式x2﹣（10+m）x+16＞0恒成立则m＜x+﹣10在（0，+∞）上恒成立∴m＜（x+﹣10）min=﹣2∴m＜﹣2【考点】一元二次不等式与一元二次方程【解析】【分析】（1）根据不等式的解集可得所对应的一元二次方程的根，利用根与系数的关系可求出a与b的值，从而求出解析式；（2）恒成立问题可将参数m分离出来，研究利用基本不等式研究不等式的最值，从而求出m的取值范围．11、【答案】解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．∴3x+4y=3x+=f（x），f′（x）=3+=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＞x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．∴3x+4y的最小值为1．（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴5xy≥2，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy的最小值为．【考点】基本不等式【解析】【分析】（1）法一：由正数x，y满足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．12、【答案】Ⅰ）或；（Ⅱ）.【考点】等差数列，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等差数列与等比数列的综合【解析】【解答】（Ⅰ）由题意有，即解得或故或(Ⅱ）由，知,,故,于是①②①-②可得,故.【分析】错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列．13、【答案】（1）（2）9【考点】同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，解三角形【解析】【解答】（1）利用两角和与差的正切公式，得到,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积。解析;(1)由，得,所以.(2)由可得，,由正弦定理知：.又,所以【分析】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用，根据两角和的正弦公式，计算角A的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b的值，根据三角形内角和为180o及两角和的正弦公式计算得到角C的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积，本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理，余弦定理，面积公式的灵活运用，考查学生基本的计算能力。14、【答案】解：（1）因为p为真，方程=1表示双曲线；所以（3﹣k）（k﹣1）＜0，所以实数k的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．（2）当¬p是真命题时，实数k的取值范围是[1，3]，当q是真命题时，k2﹣2k＞0，解得k＞2或k＜0，因为命题（¬p）∧q是真命题，所以¬p是真命题且q也是真命题，所以，所以实数k的取值范围是（2，3]【考点】命题的真假判断与应用【解析】【分析】（1）利用双曲线的简单性质列出不等式，求解即可．（2）命题（¬p）∧q是真命题，两个命题都是真命题，求解k的范围去交集即可．