六年级同步第1讲-：整数和整除---教师版

1整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．正整数自然数整数零负整数整数和整除知识结构模块一：整数的意义和分类知识精讲内容分析2【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最小的自然数是1；（2）最小的整数是0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．【总结】本题主要考查与整数有关的概念．【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．整数自然数正整数负整数【难度】★【答案】整数：15，－1，0，－63，13；自然数：15，0，13；正整数：15，13；负整数：－1，－63．【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．【总结】本题主要考查整数的分类．例题解析3【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；【解析】略；【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】2112aaaa、、、．这五个数是：2、3、4、5、6．【解析】列方程：(2)(1)(1)(2)20aaaaa解得：4a∴这五个数是：2、3、4、5、6．【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：152，试求这三个自然数．【难度】★★★【答案】3，10，0．【解析】设这三个数分别为1k，5k，2k；则15213kkk解得：2k∴这三个数是3，10，0．【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示．41、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【例6】老师问：“当4.5a时，0.9b时，a能被b整除吗？”一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（）15和30（）0．4和4（）14和6（）17和35（）9和0．5（）【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例题解析知识精讲模块二：整除的意义师生总结1、整除的条件是什么？2、“a能整除b”与“a能被b整除”的区别是什么？5【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【难度】★【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（2）21÷7=3；0÷3=0．【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0．1；（4）18÷3；（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．【难度】★★【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？6【例10】若两个整数a、b(ab)都能被整数c整除，它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？【难度】★★【答案】能，原因略；【解析】设amc，bnc（mn、是整数，且mn）；则：()abmnc；()abmnc；abmnc；∴它们的和、差、积也能被c整除．【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用．【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．【难度】★★【答案】35【解析】能被5整除的数字，位数是0或5；个位数字减十位数字的差是2，说明个位不能是0，所以个位数字是5，十位数字是3，这个两位数是35．【总结】本题主要考查能被5整数的数的特征．【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【难度】★★【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．【解析】将15分解可得：151153553151题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．7【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【难度】★★★【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天，则：3667522，∴2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？【难度】★★★【答案】第6组【解析】设听语文讲座的人数为x，那么听英语讲座的人数为6x，则在教室里的一组人数为(827)x人；由已知得：382713x，且827x为整数．解得：6291177x．因为x为整数，所以x的取值为10或者11．当10x时，82712x，第6组；当11x时，8275x（舍）；∴留在教师的是第6组．【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．组别12345678910人数3116810124713881、因数和倍数的意义整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．【例15】有一个算式6379，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【难度】★【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【解析】因数和倍数的意义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．【难度】★【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……【解析】∵121122634；∴12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……∵19119；∴19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……∵3613621831249；∴36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．例题解析知识精讲模块三：因数和倍数的意义9【例17】在圈内填写满足条件的数：【难度】★【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18；27的因数：1，3，9，27；既是18的因数又是27的因数：1，3，9【解析】∵181182936；∴18的因数：1，2，3，6，9，18；∵2712739；∴27的因数：1，3，9，27；∴既是18的因数又是27的因数有：1，3，9．【总结】本题一方面考查如何求一个正整数的因数，另一方面考查如何求两个正整数相同的因数．【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【难度】★★【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．【解析】（1）∵61623，91933；∴6和9含有相同的因数：1和3；（2）∵2712739，51151317；∴27和51含有相同的因数：1和3；【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数．【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【难度】★★【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；3，6，9，12，15，18，21，24，27，30；6，12，18，24，30；【解析】略18的因数27的因数既是18的因数又是27的因数10【例20】已知：235A，335B，则A和B相同的因数有哪些？【难度】★★【答案】1，3，5，15．【解析】∵235A，∴A的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；∵335B，∴B的因数有：1，3，5，9，15，45．∴A和B相同的因数有：1，3，5，15．【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数．【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【难度】★★【答案】2，3，5，7【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成1乘以本身，这样的数有2，3，5，7；【总结】本题主要考查因数的概念．【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】30【解析】∵2162223331218，∴这两个数是12和18，和是30．【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【难度】★★【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，