圆锥曲线经典中点弦问题

中点弦问题专题练习一．选择题（共8小题）1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣22．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A．x+2y+4=0B．x+2y﹣4=0C．2x+y+4=0D．2x+y﹣4=03．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（）A．e﹣1B．1﹣eC．e2﹣1D．1﹣e24．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0C．4x+9y﹣144=0D．9x+4y﹣144=05．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2B．﹣2C．D．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0B．x﹣4y+3=0C．4x+y﹣5=0D．x+4y﹣5=0二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________，直线方程为_________．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________．13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________．14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB•kOM=_________．15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________．16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________．17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________．三．解答题（共13小题）18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kAB•kOM为定值．25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．26．已知椭圆．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．27．已知椭圆．（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．29．（2010•永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．2014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2考点：椭圆的简单性质．4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．则，，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，，代入得，解得k=．故选A．点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A．x+2y+4=0B．x+2y﹣4=0C．2x+y+4=0D．2x+y﹣4=0考点：直线的一般式方程．4126984专题：计算题．分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0因为A为椭圆的弦的中点，所以，解得k=﹣2，所以直线的方程为2x+y﹣4=0．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（）A．e﹣1B．1﹣eC．e2﹣1D．1﹣e2考点：椭圆的简单性质．4126984专题：综合题．分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kAB•kOM中求得结果．解答：解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线消去y得b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0所以：x1+x2=﹣所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=﹣又：y1=kx1+cy2=kx2+c所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=所以：Kom===﹣所以：kAB•kOM=k×（﹣）=﹣=e2﹣1点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0C．4x+9y﹣144=0D．9x+4y﹣144=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．解答：解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，，，两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以=﹣=﹣=﹣，即kAB=﹣，所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故选B．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2B．﹣2C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．4126984专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，两式相减得=0．∵，，．代入上式可得，解得kAB=．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．4126984专题：计算题．分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率．解答：解：显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，相减得：=0，整理得：k=﹣=1，又弦的中点坐标是（﹣2，1），∴，∴，则椭圆的离心率是e===．故选B．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）考点：直线与圆锥曲线的关系．4126984专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4∴3x2+4x﹣2=0∴弦的中点横坐标是x==﹣，代入直线方程中，得y=∴弦的中点是（﹣，）故选B．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0B．x﹣4y+3=0C．4x+y﹣5=0D．x+4y﹣5=0考点：直线与圆锥曲线的关系．4126984专题：计算题．分析：设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），代入椭圆化简，根据x1+x2==2，求出斜率k的值，即得所求的直线方程．解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），代入椭圆化简可得，（4k2+1）x2+8（k﹣k2）x+4k2﹣8k﹣12．∴由题意可得x1+x2==2，∴k=﹣，故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0，故选D．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键．二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．4126984专题：综合题．分析：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．解答：解：设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②①﹣②，可得：∴∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，当M、N不重合时，有∴∴∴，（m≠2）当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程，则N的轨迹方程为，故答案为：点评：本题考查直线与