对数与对数函数

2020/11/131对数与对数函数对数对数函数2020/11/132思考问题假设1995年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长率为8%,求5年后国民生产总值是1995年的多少倍？答：y=a(1+8%)5=1.085a是1995年的1.085倍已知国民生产总值每年平均增长率为8%,问经过多少年后国民生产总值是原来的2倍？答：1.08x=2x=?2020/11/133对数的定义如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N，即ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。负数和零没有对数.loga1=0logaa=12020/11/134对数恒等式logaNaN证明：设ab=N则b=logaN所以alogaN=N2020/11/135常用对数与自然对数的定义(1)以10为底的对数叫做常用对数.为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.(2)以e为底的对数叫做自然对数.为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.2020/11/136例题把下列指数式写成对数式：(1)54=625;(2)2-6=1/64;(3)3a=27;(4)(1/3)m=5.73.解（1）log5625=4（2）log21/64=-6（3）log327=3（4）log1/35.73=m2020/11/137例题把下列对数式写成指数式：(1)log1/216=-4(2)log2128=7(3)lg0.01=-2(4)ln10=2.303.解（1）(1/2)-4=16（2）27=128（3）10-2=0.01（4）e2.303=102020/11/138练习求下列各式的值：55235log1125lg10(1)log4;(2)log27;(3)log125;(4)lg1000;(5)10;(6)5.2020/11/139对数函数定义函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）。函数y=logax(a0,且a1)就是指数函数y=ax的反函数。因为y=ax的值域是（0，+），所以，函数y=logax的定义域是（0，+）。2020/11/1310对数函数的图像与性质（1）对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图像与y=ax的图像关于直线y=x对称。y=2x图像与y=log2x的图像：y=(1/2)x图像与y=log1/2x的图像：点击察看点击察看2020/11/1311对数函数的图像与性质（2）（4）在（0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是增函数（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0（2）值域：R（1）定义域：（0，+）性质图像0a1a12020/11/1312例题比较下列各组数中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9（a0,a1）.解（1）考察对数函数y=log2x，因为它的底数21，所以它在（0，+）上是增函数，于是log23.4log28.5;2020/11/1313例题（2）考察对数函数y=log0.3x，因为它的底数为0.3，即00.31，所以它在（0，+）上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7;（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1。而已知条件未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数a进行讨论：2020/11/1314例题当a1时，函数y=logax在（0，+）上是增函数，于是loga5.1loga5.9当0a1时,函数y=logax在（0，+）上是减函数，于是loga5.1loga5.9注例题是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。2020/11/1315练习1.求下列函数的定义域：（1）y=log5(1-x);（2）1/log2x.2.比较下列各题中两个值的大小：（1）log106,log108;（2）log0.56,log0.58.