高二数学求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出maxfx，则maxafx；若afx恒成立，只须求出minfx，则minafx，转化为函数求最值。例1、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，即：23axx在2,x上恒成立，设23fxxx，则23924fxx当2x时，max2fx所以2a在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx恒成立，只须求出maxgx，则maxfagx，然后解不等式求出参数a的取值范围；若fagx恒成立，只须求出mingx，则minfagx，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例2、已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x0,2t所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出21tftt在0,2t上的最小值即可。22211111124tfttttt11,2tmin324ftf234aa1322a二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若2,2x时，不等式23xaxa恒成立，求a的取值范围。解：设23fxxaxa，则问题转化为当2,2x时，fx的最小值非负。（1）当22a即：4a时，min2730fxfa73a又4a所以a不存在；（2）当222a即：44a时，2min3024aafxfa62a又44a42a（3）当22a即：4a时，min270fxfa7a又4a74a综上所得：72a变式：若对于Rx，不等式0322mxmx恒成立，求实数m的取值范围。三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例4、若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。解：设2121fmmxx，对满足2m的m，0fm恒成立，2221210202021210xxffxx解得：171322x变式：已知不等式042222xaxa对于Rx恒成立，求参数a的取值范围。四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：,,mnfaga，则fam且gan，不等式的解即为实数a的取值范围。例5、当1,33x时，log1ax恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax（1）当1a时，1xaa，则问题转化为11,3,3aa3113aa3a（2）当01a时，1axa，则问题转化为11,3,3aa1313aa103a综上所得：103a或3a五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx观察两函数图象，当10,3x时，若1a函数logayx的图象显然在函数23yx图象的下方，所以不成立；当01a时，由图可知，logayx的图象必须过点11,33或在这个点的上方，则，11log33a127a1127a综上得：1127a上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。