矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用

矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用矩阵理论在李雅普洛夫稳定性分析上的应用一引言一个自动控制系统要能正常的工作，必须首先是稳定的系统，即当系统受到外界干扰时，它的平衡被破坏但是在外界干扰去掉之后，它仍能够有能力自动地恢复到平衡态下继续工作，系统的这种性能称为稳定性。例如，电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力，电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。也可以说，系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系统的状态变量或者输出变量的偏差量过渡过程的收敛性，用数学方法就是表示为：|)(|limtxn式中，)(tx为系统被调量偏离其系统位置的变化量，为任意小的规定量。如果系统在受到外界干扰后偏差量越来越大显然不是一个稳定的系统。李雅普洛夫第二法也称为直接法，它的特点是通过定义李雅普洛夫函数，直接判断分析系统的稳定性。二李雅普洛夫意义下的稳定性定义：对于由状态方程),(txfx描述的系统对于任意给定的实数0和任意给定的初始时刻0t，都对应存在一个实数0),(0t使得对于从任意位于平衡态ex的球域),(exS的初始状态0x出发的状态方程的解x都位于球域),(exS内，则称系统的平衡态ex是李雅普洛夫意义下的稳定性。李雅普洛夫稳定性示意图李雅普洛夫不稳定性的示意图1）李雅普洛夫第二法的相关定理矩阵论相关知识：x2Ox1εδX(0)x2Ox11δε①范数范数在数学中定义为度量n维空间的点之间的距离。在工程中常用的是2-范数，就欧几里得范数，其定义式为：niiixxxx12,2,1221)(其中的ix,1和ix,2分别为向量1x和2x的各分量。②各点组成的空间成为球域，记为),(0xS。即),(0xS包含满足20xx的n维空间中的各点x③定义：设对称矩阵P为二次型函数)(xV的权矩阵，当)(xV分别为正定，负定，非负定，非正定与不定时，则对称阵P相应的为正定，负定，非负定，非正定与不定。（塞尔维斯特定理）实对称阵P为正定的充分必要条件是P的各阶顺序主子式均大于零，即：0111p，0222112112pppp，0,.......03332312322211312113Ppppppppppn式中，ijp为实对称阵P的第i行，第j列元素。实对称阵P负定的充要条件为：为奇数，为偶数iii,002）李雅普洛夫第二法是在能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。如果系统平衡态渐进稳定，则系统经过激励之后，其储存的能量将随着时间的推移而衰减，当趋于平衡态时候，其能量达到最小值。反之，如果系统不稳定则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将会越来越大。李雅普洛夫第二法就是在找一个能合理描述动态的n维状态的某种形式的能量的正弦函数，通过考核该函数随着时间是否衰减，来判断稳定性。定理（1）：设的状态方程为),(txfx式中，0ex为平衡态。若在状态空间的原点的某个邻域内存在一个有连续一介偏导数正弦函数),(txV，满足：1）若),(txV为负定的，该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的；2）更进一步，若),(txV的定义域为nR，随着,||||x（欧几里德范数），有),(txV，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。定理(2)：0ex为系统),(txfx的一个平衡态。若在状态空间的原点的某个邻域内存在一个有连续一介偏导数正弦函数),(txV，满足：1)若),(txV为正定的，该系统在原点处的平衡态是不稳定的；2)若),(txV为非负定的，且对于任意的0t和任意的00x，),(txV在0tt时，沿着其状态轨迹解)(tx不恒为零，那么该系统在原点处的平衡态是不稳定的。三，线性系统的稳定性分析设线性定常系统的状态方程为：Axx这样的线性系统具有如下特点。2）当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平衡态0ex，即为状态空间的原点。3）该系统在平衡态0ex的某个邻域上是渐进稳定时，则一定是大范围渐进稳定的。4）对于该线性系统，其李雅普洛夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。定理：线性定常系统Axx的平衡态0ex为渐进稳定的充分必要条件为：对于任意给定的一个正定矩阵Q都存在一个正定矩阵P为矩阵方程:QPAPAT的解。并且正定函数PxxxVT)(即为系统的一个李雅普洛夫函数。证明：1)充分性的证明，即证明对任意的正定矩阵Q若存在一个正定矩阵P满足上述矩阵方程，则平衡态0ex为渐进稳定的。令PxxxVT)(。由于为正定函数，而且沿轨迹对时间t的全导数为：QxxxPAPAxAxPxPxAxxPxPxxPxxdtdxVTTTTTTTT)()()()()(而Q为正定矩阵，故)(xV为负定函数。根据上述定理一可以证明系统的平衡态0ex是渐进稳定的。2）必要性的证明，即证明系统在0ex处是渐进稳定的，则对任意给定的正定矩阵Q，必存在正定矩阵P满足矩阵方程QPAPAT。对于任意给定的正定矩阵Q，令：QQeedtQeedtddtQeeAdtAQeePAttAAttAAttATAttATTTT0000因此，必要性也得以证明。只要选择Q矩阵选定正定或者根据上述情况选为非负定的那么最终的判定结果与Q的不同选择无关。因此，运用此方法判定系统的稳定的时候，最方便的是选取Q为单位矩阵，即IQ,相应的李雅普洛夫方程为：IPAPAT例如：控制系统的方块图为下图所示：要求系统渐进稳定，是确定增益k的取值范围。—+解，由图可以写出系统的状态方程为：1sk21ss132132110120010xxxkxxx不难看出，原点为系统的平衡状态。选取Q为非负定是实对称阵100000000Q由于23xQxxT为非负定，且只有在原点处才恒为零，其他非零状态轨迹不恒为零。因此，对上述非负定的Q,李雅普洛夫方程相应的结论仍然成立。设P为实对称阵并带入李雅普洛夫方程，可得。100000000101200101002100333231232221131211333231232221131211kppppppppppppppppppkk求得60360612)6(212kkkkkkkkP为使得原点处的平衡态是大范围渐进稳定，矩阵P须为正定，采用合同变化法有360003000603606122)1(2)2()1()1(2)2()1(2kkkkkkkkkk行：列：从而得到P为正定矩阵的条件036030212kkk得到60k由上例可知道，选择Q为某些非负定矩阵，也可以判断系统的稳定性，好处在于可以降低数学运算的复杂性。四、小结：本问主要采用了矩阵论中初等计算，矩阵的转置，正实对称阵，范数，n阶主子式，矩阵的定号性，以及求解矩阵方程的相关定理。（设nnCFA,，且A的所有特征值都具有负实部，则矩阵方程FXAXAH的唯一解为0dtPeeXAttAH如果是Hermite正定矩阵，则矩阵的解X也是Hermite正定矩阵。来解决控制理论中系统的稳定性判断和分析问题。