全等三角形的相关模型总结

WORD完美资料编辑专业整理分享全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G作GE射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC，,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分，那么点D到直线AB的距离是cm.②如图2，已知，21，43.BACAP平分求证：.图1图2①2（提示：作DEAB交AB于点E）②21，PNPM，43，PQPN，BACPAPQPM平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分BAC.WORD完美资料编辑专业整理分享.求证：180CA图3练习二：已知如图4，四边形ABCD中，..,1800BADACCDBCDB平分求证：图4练习三：如图5，,,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中，交CD于点E，交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到'''EDA的位置，使点'E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5图6练习四：如图7，90AADBC，∠∥，P是AB的中点，PD平分∠ADC．WORD完美资料编辑专业整理分享求证：CP平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．图8练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且ABAC。求证：BE－AC=AE。练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。BCADEF2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现ADECBP2143FEDCBA图9WORD完美资料编辑专业整理分享辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB（1）.例题应用：①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：1()2BEACAB证明：延长BE交AC于点F。②．已知：如图2，在中ABC，,,ADABDBCADBAC且于交的角平分线)(21.ACABAMMADADCM求证：的延长线于交作WORD完美资料编辑专业整理分享分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E.例题变形:如图，21，的中点为ACB，.,NFBANMFBCM于于求证：①;2BMEF②).(21FNFMFB(3).模型巩固：练习一、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。WORD完美资料编辑专业整理分享图3练习一变形：如图4，在△ODC中，，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过点E作..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF图4练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC图5练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。图6ACDEBABCDEWORD完美资料编辑专业整理分享练习四、①、如图7（a），AABCCEBD的外角平分线，过点分别是、、作BDADDEDEEDCEAE:.求证，连接、，垂足分别是∥，BC)(21ACBCABDE.图7（a）图7（b）图7（c）②、如图7（b），件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD③、如图7（c），的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD其他条件不变.则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形ABC中，90C，A的平分线交BC于D．自C作CGAB交AD于E，交AB于G．自D作DFAB于F，求证：CFDE．WORD完美资料编辑专业整理分享GABCDEF12图8练习六、如图9所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．MFDCBA图9练习六变形一：如图10所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥且1()2DEABAC．EDCBA图10练习六变形二：如图11所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．MDCBA图11练习七、如图12，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．则有ABBDAC．那么如图13，已知在ABC中，3ABCC，12，BEAE．求证：2ACABBE．WORD完美资料编辑专业整理分享DCBA21ECBA图12图13练习八、在ABC△中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDE．CEDBA练习九、AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC∥交AB于F．求证：AFFB．DECFBA3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OAC≌△OBC.（1）.例题应用：①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。WORD完美资料编辑专业整理分享思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。WORD完美资料编辑专业整理分享④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。②、如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．DPCBAEDPCBA【解析】PBPCABAC，理由如下．WORD完美资料编辑专业整理分享如图所示，在AB的延长线上截取AEAC，连接PE．因为AD是BAC的外角平分线，故CAPEAP．在ACP和AEP中，ACAE，CAPEAP，AP公用，因此ACPAEP≌，从而PCPE．在BPE中，PBPEBE，而BEBAAEABAC，故PBPCABAC．变形：在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．CDBPAECDBPA【解析】在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEP≌ACP，∴PEPC，AEAC又BEP中，BEPBPE，BEABAC，∴ABACPBPC（2）、模型巩固：练习一、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC练习三、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝ABEADBCACBDACBDWORD完美资料编辑专业整理分享练习四、已知：在△ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,,DDFBC交AC于,,EABF交于求证：EFBFCE练习五、在△ABC中，,2ABACAD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证：2BDCE变式：已知：在△ABC中，,2BCBD平分ABC，,ADBQD于求证：12BDAC练习六、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证：（1）BF=DF；(2)AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPDABCDFEWORD完美资料编辑专业整理分享练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。GADBCEF练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.DACBMTE练习十、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFACDEBWORD完美资料编辑专业整理分享【补充】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．FGEDCBA4.中考巡礼：（1）.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过点D作DM⊥AC于M，①、求证：∠ABD=∠ACD；②、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE；AOMNEF图1ABCDEF图2ABCDEF图3WORD完美资料编辑专业整理分享③、当点A运动时，（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。二、等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程