垂直的判定和性质专题及答案

垂直的判定和性质专题垂直的判断方法及性质汇总：一、判定线面垂直的方法1．定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2．如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6．如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面二、判定两线垂直的方法1．定义：成90角2．直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4．在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5．一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直三、判定面面垂直的方法1．定义：两面成直二面角,则两面垂直2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面四、面面垂直的性质1．二面角的平面角为902．在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3．相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面专题训练：一．选择题：1．已知直线l⊥平面α，给出：①若直线m⊥l，则m//α；②若直线m⊥α，则m//l；③若直线m//α，则m⊥l；④若直线m//l，则m⊥α。以上判断正确的是B（A）①②③（B）②③④（C）①③④（D）①②④2．下列命题正确的是B（A）垂直于同一直线的两条直线平行（B）垂直于同一直线的两条直线垂直（C）垂直于同一平面的两条直线平行（D）平行于同一平面的两条直线平行3．设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，且P到△ABC各边的距离相等，那么△ABCC（A）是非等腰三角形（B）是等腰直角三角形（C）是等边三角形（D）不是A、B、C中所述的三角形4．正方形ABCD的边长为12，PA⊥平面ABCD，PA=12，那么P到对角线BD的距离是D（A）123（B）122（C）63（D）665．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是D（A）lα（B）l⊥α（C）l//α（D）lα或l//α6．已知直线a,b和平面α，下列推论错误的是D（A）aabb（B）//abab（C）//或abaab（D）////aabb7．直线a⊥b，且a//平面α，则b与α的位置关系是D（A）bα（B）bα（C）b//α或bα（D）b与α相交或b//α或bα8．若a,b是异面直线，那么经过b的所有平面中A（A）只有一个平面与α平行（B）只有一个平面与α垂直（C）有无数个平面与α平行（D）有无数个平面与α垂直9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BB1C1C及其面界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是A（A）线段B1C（B）线段BC1（C）BB1中点与CC1中点连成的线段（D）BC中点与B1C1中点连成的线段10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于B（A）AC（B）BD（C）A1D1（D）AA111．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是D（A）5（B）25（C）35（D）4512．如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在A（A）直线AB上（B）直线BC上（C）直线CA上（D）△ABC内部二．填空题：1．平面α外一点A到平面α上各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线与平面α的位置关系是垂直。2．经过一点与已知平面垂直的直线有一条。3．长方体ABCD－A’B’C’D’中，AB=b，BB’=BC=a，那么（1）BC’与平面A’B’CD的位置关系是垂直；（2）点B到平面A’B’CD的距离是22a；4．圆O的半径为4，PO垂直于圆O所在平面，且PO=3，那么点P到圆上各点的距离为5.5．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影（1）若PA,PB,PC两两互相垂直，则O点是△ABC的垂心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的内心；（3）若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的垂心；（4）若PA,PB,PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的外心。6．正三角形ABC边长为a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°，这时A到BC的距离为144aEPDCBA三．解答题：1．如图，P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB，求证：MN⊥AB；提示：过P作PD⊥AB于D，则点D为AB中点，取PB中点E，连结ME、NE，易证NE∥PB，ME∥BC，故NE⊥AB，ME⊥ABEDMNCABP2．在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，若BE⊥PD于E求证：AE⊥PD提示：PA⊥面ABCD，PA⊥AB，又DA⊥AB，故AB⊥面PAD，所以AB⊥PB，因为BE⊥PD，所以PD⊥面ABE，故PD⊥AEMNCABP3．如图：面ABEF面ABCD，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AD＝2AF，G是EF的中点，求证：面AGC面BGC提示：面ABEF面ABCD，BC⊥AB，所以BC⊥面ABEF得AG⊥BC，由AD＝2AF，G是EF的中点，易知AG⊥BG，所以AG⊥面BCG。4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中（１）求证：Ａ1Ｃ面ＢＤＣ１（2）求证：面A1AC面BB1D1D（略）FEBACDGA1B1C1D1DCBA