【考点+突破】【全国通用】2015届中考数学总复习+第24讲+圆的基本性质(有答案)

1圆的基本性质一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(D)A．2B．4C．6D．8,第1题图),第2题图)2．(2014·温州)如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB︵为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是(A)A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B＋∠C,第3题图),第4题图)3．(2014·兰州)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(C)A．AE＝BEB.AD︵＝BD︵C．OE＝DED．∠DBC＝90°4．(2014·孝感)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC︵的中点，点D是优弧BC︵上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝63cm；③sin∠AOB＝32；④四边形ABOC是菱形．其中正确的序号是(B)A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④解析：∵点A是劣弧BC︵的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D＝30°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AOB＝60°，∵点A是劣弧BC︵的中点，∴BC＝2BE，∵OA＝OB，∴OB＝OA＝AB＝6cm，∴BE＝AB·cos30°＝6×32＝33cm，∴BC＝2BE＝63cm，故B正确；∵∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝32，故③正确；∵∠AOB＝60°，∴AB＝OB，∵点A是劣弧BC︵的中点，∴AC＝OC，∴AB＝BO＝OC＝CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B二、填空题(每小题6分，共24分)5．(2014·广东)如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为__3__．,第5题图),第6题图)6．(2014·巴中)如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于点D，∠B＝55°，则∠BOC的度数是__70°__．27．(2014·泰安)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为__31313__．解析：连结BC，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，∴BC＝AB2－AC2＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝12AC＝4，在Rt△BCE中，BE＝BC2＋CE2＝213，∴sinα＝BCBE＝6213＝31313.故答案为31313,第7题图),第8题图)8．(2014·宁波)如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__611__cm2.解析：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△CAG，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG＝∠BDF＝60°，∵∠ECB＝60°，∴G，C，E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴AMON＝ACOC＝21，在Rt△ONC中，∠OCN＝60°，∴ON＝sin∠OCN·OC＝32·OC，∵OC＝OA－AC＝2，∴ON＝3，∴AM＝23，∵ON⊥GE，∴NE＝GN＝12GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE＝OE2－ON2＝62－（3）2＝33，∴GE＝2NE＝233，∴S△AGE＝12GE·AM＝12×233×23＝611，∴图中两个阴影部分的面积为611三、解答题(共52分)9．(10分)(2014·湖州)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．(1)证明：作OE⊥AB，∵AE＝BE，CE＝DE，∴BE－DE＝AE－CE，即AC＝BD(2)∵由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27，AE＝OA2－OE2＝102－62＝8，∴AC＝AE－CE＝8－2710．(10分)(2013·邵阳)如图所示，某窗户由矩形和弓形组成．已知弓形的跨度AB＝33m，弓形的高EF＝1m．现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB︵所在圆O的半径．解：设⊙O的半径为r，则OF＝r－1.由垂径定理，得BF＝12AB＝1.5，OF⊥AB，由OF2＋BF2＝OB2，得(r－1)2＋1.52＝r2，解得r＝138.∴AB︵所在圆O的半径为138m11．(10分)(2012·沈阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为点E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.(1)∵OD⊥AC，OD为半径，∴CD︵＝AD︵.∴∠CBD＝∠ABD.∴BD平分∠ABC(2)∵OB＝OD，∠ODB＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC于点E，∴∠OEA＝90°.∴∠A＝90°－60°＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ACB中，BC＝12AB.∵OD＝12AB，∴BC＝OD12．(10分)(2013·温州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D(2)解：设BC＝x，则AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋7，x2＝1－7(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋713．(12分)(2014·武汉)如图，AB是⊙O的直径，C，P是AB︵上两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若点P是AB︵的中点，求PA的长；(2)如图②，若点P是CB︵的中点，求PA的长．4(1)如图①所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是AB︵的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，又∵在等腰三角形△ABP中有AB＝13，∴PA＝AB2＝132＝1322(2)如图②所示：连接BC，OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，又因为AB为直径∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB，又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，∴△ACB∽△ONP，∴ABOP＝ACON，又∵AB＝13，AC＝5，OP＝132，代入得ON＝52，∴AN＝OA＋ON＝9，∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2－ON2＝36，在Rt△ANP中，有PA＝AN2＋NP2＝117＝313，∴PA＝3132015年名师预测1．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为(D)A．1B.203C．3D.163解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵cos∠ACD＝35，∴cosB＝35，∴tanB＝43，∵BC＝4，∴tanB＝ACBC＝AC4＝43，∴AC＝163,第1题图),第2题图)2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为__45__．解析：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD＝90°.∵半径为5的⊙O中，弦AB＝6，则AD＝10，∴BD＝AD2－AB2＝102－62＝8.∵∠D＝∠C，∴cosC＝cosD＝BDAD＝810＝45