傅里叶积分

一、Fourier级数二、Fourier积分第一章Fourier变换§1.1Fourier积分第2页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页一、Fourier级数傅里叶(1768—1830)法国数学家对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.法国数学家FourierJ．B．J．Fourier第3页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1804年，法国数学家Fourier提出：在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和.1822年，Fourier在研究热传导理论时发表了《热的解析理论》，提出了将周期函数展开为正弦级数的原理.一、Fourier级数第4页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页一、Fourier级数1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的定理，奠定了Fourier级数的理论基础.狄利克雷（1805－1859）德国数学家P.G.L.Dirichlet第5页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1.Fourier级数展开()()[,]DirichletftftTT设是一个以T为周期的函数，若在上满足条件,01222()[,]()=(cossinFourir),ennnTTftaftantbnt级数展式则在上有12）连续或有有限个间断点；）有有限个极值，连续点处π其中，2T2202()dTTafttT第6页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22()sind.TTnbftntt22()cosdTTnaftntt，01(0)(0)cossin22nnnaftftantbntt在间断点处：01(0)(0)cossin22()nnnftftaantbntft1.Fourier级数展开第7页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页在其连续点处，利用Euler公式：jjjjcos,sinj22eeee01()(cossin)2nnnaftantbntjjjj01j222ntntntntnnnaabeeee2.Fourier级数的复指数表示形式eejj01jj222ntntnnnnnaabab第8页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页2.Fourier级数的复指数表示形式其中令(n=0,1,2,…),nn2211()()dTnnTttnftfTTjjee第9页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在之内等于f(t),而在之外按周期T延拓到整个数轴上,显然,T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T+时周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有lim()()TTftft二、Fourier积分1.Fourier积分公式,22TT,22TT第11页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页ee，22jj1()()dTnnTtTTnftfTee22jj1()lim()dTnnTtTTnftfT1.Fourier积分公式令，由第12页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页当取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上两个相邻的点的距离为,,nnππ或12,nnnnTT1.Fourier积分公式第13页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22jj01()lim()d2TnnTntTnnftfeeπ0nT则当，时，22jj1()lim()dTnnTtTTnftfTee1.Fourier积分公式第14页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22jj01()lim()d2TnnTntTnnftfeeπ1.Fourier积分公式Fourier积分公式1d2tftfjj（）=（）edeπ第15页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页若f(t)在(-,+)上满足下列条件:1)f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积.则有（在绝对可积即收敛）(,)|()|dftt2.Fourier积分定理一个非周期函数在什么条件下,可以用Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.定理:第16页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页jj1()()dd2tftfeeπ成立.dtetfFtj)()(称为f的Fourier变换。deFtftj)(21)(称为F的Fourier逆变换。2.Fourier积分定理第17页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页jj1()()dd2tftfeeπ1j11cossindd2tttjeπ11()0tft，求函数的Fourier积分表达式.，其他根据Fourier积分公式的复数形式，有第18页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1j01cosddtteπ1sincossindttjπ02sincosd1tπ其他,01||,1tt第19页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页012sincosd1401tttπ，π，，即t0t当时，有Dirichlet积分0sind2π