指数函数和对数函数的知识点及典型例题

1/12指数函数和对数函数的知识点及典型例题一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2．整数指数幂的运算性质：（1）,mnmnaaamnZ（2）,nmmnaamnZ（3）nnnababnZ其中mnmnmnaaaaa，1nnnnnnaaababbb．3．a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn,1例如：27的3次方根3273，27的3次方根3273，32的5次方根2325，32的5次方根2325．说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na；若0a则0na，若oa则0na；②若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8的平方根22816的4次方根2164）③若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；④Nnnn,100∴00n；⑤式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。∴nnaa．4．a的n次方根的性质2/12一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann．5．例题分析：例．计算：407407解：40740752)25()25(22（二）分数指数幂1．分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；幂的运算性质nmmnaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa，4554544aaa，∴2323aa4545aa．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,,,1mnmnaaamnNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,,,1mnmnmnaamnNnaa．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：3/12【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，aa.解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；aa=1113322224aaaa．【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263ababab；（2）83184mn；解（1）211511336622263ababab（2）83184mn=883184mn=2233mmnn．=211115326236263ab=044aba；例3．计算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa．解：（1）3451255=231324555=213134245555（2）232aaa=526562132aaaaa．=5512455=5124555；【例3】已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；（2）3322xx.解：（1）11222()xx1111222222()2()xxxx112xx325，∴11225xx，又由13xx得0x，∴11220xx，4/12所以11225xx.（2）（法一）3322xx113322)()xx＝（11111122222222()[()()]xxxxxx11122()[()1]xxxx5(31)25，（法二）33222[()()]xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()[()3]xxxx23(33)18∴33222()20xx，又由130xx得0x，∴33220xx，所以33222025xx.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R．2．指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性（1）定义域：R5/12质（2）值域：(0,)（3）过定点(0,1)，即0x时1y（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数【例1】求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa．解：（1）210x∴12x原函数的定义域是1{,}2xxRx，令121tx则0,ttR∴8(,0)tytRt得0,1yy，所以，原函数的值域是{0,1}yyy．（2）11()02x∴0x原函数的定义域是0,，令11()2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0xa∴101yy，∴11y，6/12所以，原函数的值域是1,1．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。【例2】当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10xa得，0x，故函数定义域{0}xx关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()fx∴()()fxfx所以，函数11xxaya是奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a（10aa且）的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做a为底N的对数，记作bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数。即baN，logaNb。aNb指数式Nab底数幂指数对数式bNalog对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N0，∴在对数式中，真数N0．（负数与零没有对数）2．对任意0a且1a,都有01a∴log10a，同样：log1aa．3．如果把baN中的b写成logaN，则有logaNaN（对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换例如：2416，4log162；210100，10log1002；1242，41log22；2100.01，10log0.012。7/12【例1】将下列指数式写成对数式：（1）4525；（2）61264；（3）327a；（4）15.373m．解：（1）5log6254；（2）21log664；（3）3log27a；（4）13log5.37m．3．介绍两种常见的对数：①常用对数：以10作底10logN简写成lgN；②自然对数：以e作底为无理数，e=2.71828……，logeN简写成lnN．【例2】（1）计算：9log27，345log625．解：设x9log27则927x，2333x,∴32x；令x345log625，∴345625x,44355x,∴5x．（2）求x的值：①33log4x；②2221log3211xxx．解：①3441327x；②22232121200,2xxxxxxx但必须：2222102113210xxxx，∴0x舍去，从而2x．（3）求底数：①3log35x，②7log28x．解：①3535353(3)x∴533x；②77888722x,∴2x．4．对数的运算性质：如果a0，a1，M0，N0，那么8/12（1）log()loglogaaaMNMN；（2）loglog-logaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR．【例3】计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；（3）2.1lg10lg38lg27lg．解：（1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2.1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg21)lg(3)lg23lg103232lg32lg212lg10．5．换底公式：logloglogmamNNa(a0,a1；0,1mm)证明：设logaNx，则xaN，两边取以m为底的对数得：loglogxmmaN，∴loglogmmxaN，从而得：aNxmmloglog，∴aNNmmalogloglog．说明：两个较为常用的推论：9/12（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）．证明：（1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam．【例4】计算：（1）0.21log35；（2）4492log3log2log32．解：（1）原式=0.251log3log3555151553；（2）原式=2345412log452log213log21232．【例5】已知18log9a，185b，求36log45（用a,b表示）．解：∵18log9a，∴a2log1218log1818，∴18log21a，又∵185b，∴18log5b，∴aba22log15log9log36log45log45log181818181836．【例6】设1643tzyx，求证：yxz2111．证明：∵1643tzyx，∴6lglg4lglg3lglgtztytx，，，∴yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11．四、对数函数1．对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数。2．对数函数的性质：10/12（1）定义域、值域：对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于xy的对称图形，即可获得。同样：也分1a与10a两种情况归纳，以xy2log（图1）与xy21log（图2）为例。（3）对数函数性质列表：图象1a01a性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1x时，0y（4）在（0