高一数学对数函数典型例题

对数函数典型例题例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域(0,)求解。解：（1）由2x0得0x，∴函数2logxya的定义域是0xx；（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4xx；（3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xya的定义域是33xx．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例2．求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解：（1）125xy∴115()log(2)fxx(-2)x；（2）211-22xy∴-112()log(-2)fxx5(2)2x．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log3.4，2log8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log5.1a，log5.9a.解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log5.1alog5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log5.1alog5.9a．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log7，7log6；（2）3log，2log0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log3，6log3，7log3．解：（1）∵66log7log61，77log6log71，∴6log77log6；（2）∵33loglog10，22log0.8log10，∴3log2log0.8．（3）∵0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，∴0.91.10.7log0.81.1log0.9．（4）∵3330log5log6log7，∴5log36log37log3．例6．已知log4log4mn，比较m，n的大小。解：∵log4log4mn，∴4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，∴44loglognm，∴1mn．当01m，01n时，得44110loglogmn，∴44loglognm，∴01nm．当01m，1n时，得4log0m，40logn，∴01m，1n，∴01mn．综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn．例7．求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）．解：（1）令3tx，则2logyt，∵0t，∴yR，即函数值域为R．（2）令23tx，则03t，∴2log3y，即函数值域为2(,log3]．（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3ay，即值域为[log3,)a，当01a时，log3ay，即值域为(,log3]a．例8．判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)，22()log(1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1()xxfx，所以，()fx为奇函数。例9．求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3[,)2上递增，在3(,]2上递减，又∵2320xx，∴2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又∵132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例10．若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ugxxaxa，∵函数2logyu为减函数，∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag，解得2232a，所以，a的取值范围为[223,2]．