不尽相异元素的全排列

【不尽相异元素的全排列】如果在n个元素中，有n1个元素彼此相同，又有n2个元素彼此相同……又有nm个元素彼此相同(n1+n2+…+nm=n)，那末这n个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列。其排列种数为𝑃𝑛(𝑛1,𝑛2,···,𝑛𝑚)𝑛=𝑛!𝑛1!𝑛2!···𝑛𝑚!【环状排列】从n个不同元素中，每次取出k个元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾地围成一圈，这种排列法称为环状排列。其排列种数为𝑃𝑛𝑘′=𝑃𝑛𝑘𝑘【通常意义下的组合】从n个不同的元素中，每次取出k个不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合其组合种数为𝐶𝑛𝑘=𝑃𝑛𝑘𝑘!=𝑛!(𝑛−𝑘)!𝑘!并且规定𝐶𝑛0=1【多组组合】把n个不同的元素分成m组，第i组有ni个不同的元素，即𝑛1+𝑛2+···+𝑛𝑚=𝑛，这样分组的种数为𝐶𝑛𝑛1,𝑛2,···,𝑛𝑚=𝑛!𝑛1!𝑛2!···𝑛𝑚!通常意义下的组合是其特例.【有重复的组合】从n个不同元素中，每次取出k个元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合种数为𝐶𝑛𝑘=𝐶𝑛+𝑘−1𝑘【组合公式】𝐶𝑛𝑘=𝐶𝑛𝑛−𝑘𝐶𝑛+1𝑘=𝐶𝑛𝑘+𝐶𝑛𝑘−1𝐶𝑛+1𝑘=∑𝐶𝑛−𝑗𝑘−𝑗𝑘𝑗=0𝐶𝑚+𝑛𝑘=∑𝐶𝑚𝑗𝐶𝑛𝑘−𝑗𝑘𝑗=0∑𝐶𝑛𝑗𝑛𝑗=0=2𝑛∑𝑗𝑛𝑗=1!𝑗=(𝑛+1)!−1∑𝑗(𝑗+1)!𝑛𝑗=1=1−1(𝑛+1)!∑1𝑗!(𝑛−𝑗)!𝑛𝑗=1=2𝑛𝑛!