差分迭代法上机报告

差分迭代法考察一维向列型液晶指向矢分布的上机报告2011059120016宋正格1理论原理1.1建立坐标系在解决这个问题之前，需要考虑的一个重要问题是将实际问题抽象成数学模型。我们将一维向列型液晶显示器件的模型简化为两片玻璃基板中夹有液晶层，因此建立如下图所示的坐标系：ZTheta（Y）XX方向表示玻璃基板的方向，Z方向表示玻璃基板中外加电场的方向，Theta表示液晶分子长轴和电场方向的夹角。在给定的坐标系下，我们可以得到液晶分子的电控指向矢的表达式：{𝑛𝑥=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑛𝑦=0𝑛𝑧=𝑐𝑜𝑠𝜃1.2推导差分迭代表达式在给定的电控指向矢的条件下，我们考察如下关系：向列型液晶在电场存在下的自由能密度为：DEnnknnknkrf21ˆˆˆˆˆ21233222211液晶中与电场方向平行的电感通量D可以表示为：22sincosEEDsp因此自由能密度表达式可以写成：DErnrnkprnrnkrnrnkrnkDErnrnkprnrnkrnkrf21))(ˆ)(ˆ(2]))(ˆ)(ˆ())(ˆ)(ˆ())(ˆ([2121]))(ˆ)(ˆ()2)(ˆ)(ˆ())(ˆ([21)(2202332222112332022211将指向矢表达式代回到自由能密度表达式中，由于：sinˆn0ˆˆnncossin,0,cos)0,cos,0(ˆˆˆ2nnnVE因此，化简后可得自由能密度表达式为：22222224332211sincos)(21cossincossin21spdzdVkkrf由液晶的弹性体理论，利用变分法可以得到如下欧拉方程：考虑到𝜃和V均是z的函数，因此其中的偏导关系可以化为：])()([22sin)(22sincossin4sincos42sin2sin2123311222323233211pspsdzdVkkdzdVkkf)cossin()]cossin(cos2sin2[2123321142233211kkkkf)(2sin)cossin()2sin2sin()cossin(331122332113311233211kkkkkkkkfdzd0Vf00VfdzdVffdzdf)sincos(22spVVf)(2sin)sincos(22spspVVVfdzd现在引入中心差分公式：21111211112222hVVVVhVVVhhiiiiiiiiii我们的目的是将中心差分公式中的四个变量代入欧拉方程组中，求解出𝜃i和𝑉𝑖然后进行差分迭代运算。因此，将中心差分公式代入欧拉方程组可得：2)cossin(16)]()()()[(2sin112332112113311211iispiiiiikkVVkk)sincos(82sin))(()()(2122111111spiiiispiiiVVVVV1.3差分迭代法原理与牛顿法和张驰法相比，差分迭代法的计算结果和计算速度比较令人满意，因此采用差分迭代法。该题目的目的是利用差分迭代法得到最精确的一维向列型液晶指向矢的表达式，因此要求最后的结果精确度不低于10-6。根据我们已经推出的𝜃i和𝑉𝑖的表达式，我们会得到一组迭代方程。要求解这个迭代方程组，首先我们将抽象模型中的两玻璃基板划分网格。在该题目中，我们选择划分1000层以力求精确。然后需要确定边界条件。首先，我们选取确定坐标系下的指向矢分布作为求解上述方程的初值，将上述格点进行赋值，作为第0次迭代的值。然后再以该值作为第1次迭代的值进行第2次迭代计算，以此类推。通过程序一一算出n次迭代的值，其最后精确度达到10-6级别时便可以结束计算。本题目不考虑收敛速度，因此不加上松弛因子控制收敛速度。2程序框图给定参数划分基板层数给定初值是否达到迭代次数给定迭代次数，进行迭代计算输出结果是否3Matlab代码%声明给定参数k11=13.7e-12;k33=16.8e-12;e0=8.85e-12;es=8.6*e0;ep=15.3*e0;%划分基板层数z=linspace(0,1e-5,1000);L=length(z);%声明初始条件theta(1)=88*pi/180;theta(L)=88*pi/180;v(1)=0;foru=1:2:10v(L)=u;fori=2:L-1v(i)=v(1)+i*(v(L)-v(1))/L;theta(i)=88*pi./(45*L.^2).*(i-L/2).^2;end%开始差分迭代forn=1:2000fori=2:L-1theta(i)=(sin(2*theta)*((theta(i+1)-theta(i-1)).^2*(k11-k33)-(v(i+1)-v(i-1)).^2.*(ep-es)))/(16*(k11*(sin(theta)).^2+k33*(cos(theta)).^2))+(theta(i+1)+theta(i-1))/2;v(i)=(v(i+1)+v(i-1))/2+((ep-es)*(v(i+1)-v(i-1))*(theta(i+1)-theta(i-1))*sin(2*theta(i)))/(8*(ep*(cos(theta(i))).^2+es*(sin(theta(i))).^2));endend%绘制图线subplot(2,1,1)plot(z,theta*180/pi);holdon;subplot(2,1,2)plot(z,v)holdon;end4仿真结果5实验结论从仿真图线可知，随着电压幅值的增大，液晶分子转动的角度变化如下：z坐标增加的速度越快，曲线越陡峭，可以旋转到接近90°的液晶分子在z轴的范围会变得更大。这是因为处于液晶盒中间的分子由于锚定作用较小，倾角容易达到90°，而处于边界上的液晶分子由于强锚定作用，倾角会相对较小。而液晶盒两端的电压基本上随着z的增加线性增大，符合题设条件。