行列式在初等数学中的应用

行列式在初等数学中的应用[摘要]行列式是线性代数的一个基本的内容，它是依赖于变元排列位置的一种特殊的代数式.在初等数学中应用它，可以沟通代数和几何间的联系，从数形结合方面又开辟了新的思考途径.主要应用于解线性方程组和研究有关矩阵问题然而，在教学中教师一般仅作为上述内容的介绍，这对于培养学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生的创造性思维，提高学生的数学素养只局限于这些内容就显得有些不足.而本文出于此种目的，利用行列式的性质与计算方法的技巧可以较为容易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题，如运用行列式分解因式，证明等式与不等式，以及在几何方面的应用，从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性，挖掘行列式在初等数学解题中的一些有效应用.[关键词]行列式分解因式不等式几何应用Thedeterminantroleinelementarymathematics[Abstract]Thedeterminantinmathematics,isakindofformulaproducedbysolvinglinearequations,istheimportanttoolofsolvingmathproblems.Byusingthepropertiesofdeterminantandthecalculationmethodsofskillscanbeeasytosolvesomeoftheelementarymathematicsamorecomplexandmoredifficulttosolvetheproblems,suchasusingthedeterminantfactorization,proveequalityandinequality,aswellastheapplicationingeometry,whichreflectedinhighermathematicstheoryandmethodoftheadvantagesofsolvingtheproblemofelementarymathematics.Elementarymathematics,theauthorofthispapersomeofthecomplexdifficultproblem,throughsomepropertiesofdeterminantandcomputationaltechniquestochangenumerousforbrief,throughspecificexamplesshowthemethodissimpleandartifice.Letthereadercanfullyexperiencetheadvantagesofdealingwithelementarymathematicsmethodsinthehighermathematics.Grasptheelementaryknowledgeofdeterminantforopenmathematicsview,theexerciseofmathematicalthinkingabilityisofgreathelp.[KeyWords]ThedeterminantFactorizationinequalityGeometryapplication目录1引言...................................................................11.1选题依据及意义....................................................11.2研究的背景........................................................21.3研究的方法........................................................32对行列式的认识.........................................................32.1行列式的历史......................................................32.2行列式的概念和性质................................................52.3行列式的应用......................................................83行列式在初等数学中的一些应用..........................................103.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性...........................103.2用行列式分解因式.................................................113.3用行列式证明等式.................................................133.4利用行列式证明不等式.............................................143.5.行列式在几何中的应用.............................................15结论....................................................................19致谢语..................................................................19[参考文献]..............................................................2111引言1.1选题依据及意义初等数学的研究作为师范院校数学教育专业的必修课程已有50多年的历史，它是在学生掌握初等数学知识和一定的高等代数理论知识的基础上，继心理学，教育学之后开设的，里面涉及到很多基本的数学思想和问题，比如等式的证明，因式的分解，二元二次方程的可分解性等等，如何找到更好的突破口，更易于解决初等数学的问题，成为当下我们迫在眉睫的焦点，而行列式的出现，无疑为初等数学和高等数学之间桥梁的构建起到很重要的作用.行列式的地位和作用是举足轻重的，不可忽视的.进入21世纪以后，为了进一步实施素质教育，我国基础教育掀起了新一轮的以课程改革为核心的教育改革.随着中学数学新课程的实施和不断深入,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注，能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.行列式不仅是线性代数的核心和基础，它也是线性代数理论中极其重要的组成部分[1].另外，它对某些数学问题的解决也有一定的帮助.行列式是高等代数中的一个重要内容，它不仅可以用来求解通过定点的曲线方程与曲面方程，以及线性方程组，还能够证明恒等式和La-grange中值定理等[2].然而行列式作为代数中线性代数的重要分支，还是高等代数重要的一个工具.行列式的理论和方法，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛.行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它在消元法，矩阵法，坐标变换，多重积分中的变量交替，解行星运动的微分方程组，将二次型及二次约束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用[3]，然而这些应用最终都离不开行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题，因此本文特将行列式的计算方法加以归纳总结，更好的应用行列式去解决一些问题.为此本文提供一些关于行列式在初等数学中应用的研究，以解决我们在初等数学碰到的一些棘手的问题，从而体现行列式这一强大的数学工具.21.2研究的背景行列式理论活跃在数学的各个分支，同时也是现代物理及其他一些科学技术领域中不可缺少的工具.作为近世线性代数的一个基本分支，行列式理论却有着悠久的历史.而真正现代意义上的行列式理论始于19世纪.柯西是这个时期的代表人物，他给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.在前辈们的基础上作出了大胆的创新，包括行列式乘法定理的建立、双重足标记法的引进以及现代意义的“行列式”名词的创用等.然而行列式理论在日本的产生和发展也是相当吸引人关注的，日本数学家们创造看我们今天所得的范得蒙展开法，并对拉普拉斯展开法进行了修订和完善.错误!未找到引用源。自从德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和发明了行列式后，瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法则给出了比较完整，明确的阐述，并给出解线性方程组的克莱曼法则，为了解决二元一次线性方程组和三元一次线性方程组的解的问题，通过加减消元法和代入消元法，推出未知量的解的一般公式，引入行列式作为符号加以表达，再进一步思考“能否像二阶，三阶行列式那样定义n阶行列式”这一问题，由此产生n阶行列式的概念.线性代数是以解线性方程组为背景而产生的数学分支，行列式是其中的最基本的概念，也是最基本的工具.然而行列式在中国的传播是非常广泛的，应用相当普遍[4].行列式在各种工程技术领域中有着广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具.它又是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算式非常必要的.线性代数是研究线性问题的一门学科，它可以引导学生进入命题性和公理化的数学领域，对培养学生的科学思维能力有重要作用.行列式是解决线性方程组的一个基本的重要工具.猜想是数学发展的动力，它不但促进了数学理论的发展，而且促进了数学方法论的研究.行列式还是《工程数学》中一个很重要的章节，其中有以行列式的计算最为重要.行列式的计算方法很多，通常可以分为以下几种：1、三角形法、2、降阶法、3、拆分法、4、定义法、5、加边法、6、归纳法等,这些方法体现行列式这一数学工具的强大，而且行列式的应用非常广泛[5].错误!未找到引用源。目前，在工科院校的教学中，对于行列式的教学一般按照教材的安排进行.比如行3列式的概念，一般是从解二元线性方程组引入二阶行列式，类似引入三阶行列式，再从排列的角度出发给出，让人感觉就是：为了表示二元线性方程组的解而学习二阶行列式，n阶行列式的概念，再比如讲解克拉姆法则时[6]，教材中是给出一个含有n个未知量n个方程的线性方程组，进而推导出n阶行列式.行列式的产生和的应用都是出现在解线性方程组中，不过它现在的应用范围已较为广泛，成为许多学科相当重要的工具.然而本论文主要着手研究行列式在初等数学中的应用.它究竟有哪些应用，怎么样去解决问题.这是非常值得关注的，为此，本文将从一些数学问题出发，运用行列式这一工具一一解决.1.3研究的方法本文主要从初等数学常见的一些问题出发，然后运用行列式加以解决.常见的相关问题是：等式证明，因式分解，二元二次多项式可分解性的判断，数列通项公式的求法，三角恒等式的证明，参数方程化为普通方程，椭圆内接n多边形面积最大值的求法，等等.行列式的应用有很多，当然是不可能介绍的非常多，面面俱到的，同时随着论文的深入，我在本论文中也给出几个行列式应用的新的探讨.2对行列式的认识2.1行列式的历史行列式诞生于17世纪，那是数学史上一个独特而重要的时期.活跃在这一时期的数学家莱布尼茨首先研究了行列式.而几位18世纪的大数学家克莱姆、马克劳林、贝祖等也都对行列式提出了自己的解释，作出了应有的贡献.而莱布尼茨是西方公认的第一个研究行列式的数学家，他真正给出了行列式思想.综观历史，虽说他的工作对行列式的继续研究没有带来一定的的影响，但是他的工作充分体现了他的数学思想和研究方法.这一点对后人的影响是非常重要的.紧随其后出现的是马克劳林，他在代数方面的成绩也是非常显著的，尤其是在1748年《代数论著》中，最初开创了用行列式的方法来求解含二个、三个和四个未知量的联立线性方程组.并且取得了非常不错的效