量子物理第二章-薛定谔方程

对于微观粒子，牛顿方程已不适用。一、波函数基本形式一个沿x轴正向传播的频率为的平面简谐波:)(2cosxvtAy第二章薛定谔方程1、一维自由粒子的波函数用指数形式表示：)(2xvtiAey取复数实部微观粒子的运动状态描述微观粒子运动基本方程波函数薛定谔方程§2.1薛定谔得出的动力学方程对于动量为P、能量为E的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：)(20),(xvtieΨtxΨ量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式！这里的和一般都为复数。0hνEhp()/0iEtpxe（三维）自由粒子波函数()/0(,)iprEtrte()/0iEtpre波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!单位体积内粒子出现的概率!*2),(ΨΨtrΨw2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:概率密度：12dVΨ3、波函数满足的条件1、单值：在一个地方出现只有一种可能性；2、连续：概率不会在某处发生突变；3、有限4、粒子在整个空间出现的总概率等于1即：波函数归一化条件波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一)sin()(axAxΨ1、由归一化条件得:2、粒子的概率密度为:axaΨ22sin21)(sin202xaxAad例：作微运动的粒子被束缚在0xa的范围内。已知其波函数为试求：1、常数A；2、粒子在0到a/2区域出现的概率；3、粒子在何处出现的概率最大？解:2/Aa在0xa/2区域内，粒子出现的概率为：3、概率最大的位置应满足因为：0xa2102xxd)(d处粒子出现的概率最大。2ax所以kax22,1,0k2akx202dVaxaxaadsin2202二、薛定谔方程的建立1、一维自由粒子薛定谔方程的建立()(,)iEtPxoΨxte()iEtPxoΨiiEeEΨt222()222iEtPxoΨPPeΨx薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明mPEEk22一维自由粒子的含时薛定谔方程tΨixΨm2222以一维自由粒子为例薛定谔EΨitΨΨPxΨ22222()()2kPEEUx,tUx,tmtΨiΨtxUxΨ2m222),(2、一维势场中运动粒子薛定谔方程),(txU一维运动粒子含时薛定谔方程ΨtxUmPitΨ)],(2[2222222ΨPΨmxm推广到三维情况，薛定谔方程可写为：tΨiΨtzyxUΨzyxm),,,(][22222222拉普拉斯算符：2222222zyx一般的薛定谔方程可写为：22(,)(,)(,)(,)2ΨrtΨrtUrtΨrtimt22,[,],2irtUrtrttm（）（）（）引入哈密顿算符:22ˆ[,]2HUrtm（）则薛定谔方程普遍形式:ˆ,,irtHrtt（）（）讨论2.数学上，对任意能量值E,薛定谔方程都有解，但从物理角度而言，仅仅满足波函数条件（单值、有限、连续、归一）的解才有物理意义。3.薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程,因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子i，波函数是复函数。4.只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。ˆ,,irtHrtt（）（）1.薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设。3、定态薛定谔方程若势能U与t无关，仅是坐标的函数。(,)()iEtΨrtre2*()()()rrdVrdV粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。2*(,)()()iiEtEtdWΨrtdVreredV定态：概率不随时间变化的状态1）定态22*(,)(,)(,)()ΨrtΨrtΨrtr2）定态薛定谔方程不显含时间()Ux薛定谔方程的一般表达式设一个特解代入薛定谔方程，得：(,)()()xtxft222()()[()]()[()()]2xxiftftUxxtmx2221()()[()()]()()2iddxftUxxftdtxmdx222(,)(,)()(,)2xtixtUxxttmx令上式两边同时等于一常数E,则左边:右边:----一维定态薛定谔方程普遍形式()()diftEftdt()iEtfte222()()()()2dxUxxExmdx(,)()()iEtEExtxftxeE():()dftiEdtft积分2221()()[()()]()()2iddxftUxxftdtxmdx一、一维无限深势阱1、势能曲线x)(xU金属中自由电子的势能曲线§2.2无限深方势阱中的粒子U-a/2●a/2●xo●2、无限深势阱0)(xU2xa2xaU与t无关，一维定态薛定谔方程：2()()()()22dxUxxEx2mdxU-a/2●a/2●xo●势阱外222dE2mdxE为有限值，所以()0x(,)22aaxx222d20dmEx()22aax势阱内2022dE2mdx（1）解方程222kmE222d0dkx()sin()xAkx令:（2）确定常数A、()sin()()22aaxAkxx0)2sin(kaA0)2sin(kaA12lka22lkalll)(2212l1）当0l时sinoAkx——奇函数。2）当1l时coseAkx——偶函数。l的其它整数值对应的解没有独立的物理意义，不影响分布2由波函数连续性，边界条件(-a/2)=0(a/2)=0sinoAkx由()sin202oaAkanka2,4,6ncoseAkx由()cos202eaAka)12(nka5,3,1,0n两项结果合并：nka3,2,1nmEk2而：22222nmaE3,2,1n即：阱内粒子能量只能取离散值，称为能量的本征值。由于在2ax处的连续性——标准化条件能量量子化是粒子处于束缚态所具有的性质。nka因sinonAxa6,4,2ncosenAxa5,3,1n由归一化条件：2222222sinaaoaandxAxdxaaA22sinonxaa6,4,2n2cosenxaa5,3,1n2xa2xa0n能量本征函数能量本征波函数：(,)()niEtnnxtxe本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。x-a/2a/2on基态n=1激发态n=2激发态n=3激发态n=42nE=E0E=4E0E=9E0E=16E0能量本征函数（概率密度）与坐标的关系经典观点：不受外力的粒子在势阱内自由运动，在各处出现的概率密度是相等；经典粒子可以处于静止的能量为零的最低状态。量子论观点：概率密度是波函数模的平方，与位置有关;量子粒子的最小能量不为零。无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于得不多以博得一个特定波长的驻波！结论：讨论:(1)无限深方势阱中粒子能量量子化n是量子数，En是能量本征值，又称能级。(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀n越大,能级间隔越大。22122Ema基态，其余称为激发态(3)势阱中粒子波函数是驻波基态除x=-a/2,x=a/2无节点.第一激发态有一个节点,k激发态有k=n-1个节点.(4)概率密度分布不均匀当n时过渡到经典力学22222nnEEma-a/2a/2on基态n=1激发态n=2激发态n=3激发态n=42nE=E0xE=4E0E=9E0E=16E0§2.3势垒穿透1、一维半无限深方势阱)(xU00U2xa22axa2xaxoU-a/2●a/2●U0E设三个区域的波函数分别为123,,2xa在的区域102、势垒穿透；隧道效应123222222ddmEx2303222()ddmEUx22(1)axa2(2)xa2()sin()xAkx22k'23kmEk2)(20'EUmk''3()kxkxxCeDe设通解：x边界条件：D=0/2xaxoU-a/2●a/2●U0E12323()()22aa3222()()()()aaxxdxdxdxdx()0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区'3()kxxCex-a/2a/2onE1E2E32nU0隧道效应:微观粒子能量E小于势垒U0时，粒子有一定的几率贯穿势垒的现象称～按经典……粒子不可能在Ⅲ区出现！但微观粒子……粒子仍有可能在Ⅲ区出现！原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒的另一边Ⅲ区出现！隧道效应是微观粒子具有波动性的必然表现！应用：1、a衰变（a粒子从放射核中逸出）针尖非常尖锐,接近原子尺寸，针尖与表面接近到零点几毫米时，电子波函数重叠，若加一小的直流电位差，出现隧道电流I，电流对针尖表面距离d十分敏感,d增加0.1nm,I减小一个数量级。保持I不变，针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况。可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格结构，表面缺陷细节，观测活体DNA基因，病毒。2、STM(ScanningTunnelingMicroscope)观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。图象处理系统扫描探针样品表面电子云电子仪器STM下图为镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了1986年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。鲁斯卡罗赫尔宾尼格谐振子的势能为：2222121xmkxU薛定谔方程为：22222d21()0d2mEmxx其能量本征值为：hnnEn)21()21(基态能(零点能)：012Eh能级间隔h§2.4谐振子3,2,1,0nxU2no221kxU0n12h1n32h2n52h由薛定谔方程得出的零点能的存在不符合经典概念，但与量子理论中的不确定度关系协调一致。更重要的是与实际情况相符。一维谐振子的能级第二章作业P71：2，4，7