植树问题思想

教学设想：美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”数学思想与方法作为数学学科的一般原理的重要组成部分，在教学中的有意渗透能够帮助学生更好地理解和掌握数学内容。当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，所学知识就会“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，也就是能够使新知识较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。因此，教师要在比较宽的视野下看待数学教学，不仅考虑显性的知识，更要充分挖掘教学内容蕴涵的数学思想方法。加强数学思想、方法的渗透，用数学思想、方法来指导和带动具体知识内容的教学，从而让学生掌握具有思想方法做灵魂的知识。就“植树问题”这一经典课题而言，诸多任课教师往往特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，即所谓的“两端都种”“一端种一端不种”与“两端都不种”，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”“不加不减”“减一”），从而能在面对新的类似问题时不假思索地直接加以应用。但是，实际教学效果却并不如人意，“有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律……”，反映出学生只是在“机械应用”，思维的灵活性却明显不够。如何破解这一难题呢？近日，有幸读到郑毓信教授《“植树问题”教学之我见》一文，深受启发，对“植树问题”的教学也有了更深层次的思考。事实上，“植树问题”的本质就是对应问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此，在此真正重要的应是“一一对应”的数学思想，应该用对应思想统领课堂。从而，在此真正需要的也就并非“规律的应用”，而是思维的灵活性，即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。对于“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分则不必过于强调，更不必将相应的计算法则看成是重要的规律乃至要求学生牢牢地去记住并能不假思索地加以应用。另外，无论是“植树问题”，还是“路灯问题”、“排队问题”、“爬楼问题”，抑或“锯木问题”、“敲钟问题”等等，都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，可以统称为“分隔问题”（郑毓信语）。因此，尽管“植树问题”可以被看成提供了一个很好的“现实原型”，但在教学中我们还需要超出这一特定情境，设法帮助学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，帮助学生建构普遍的数学模式，以提升学生的思维水平。