矩阵的收敛性

第五章向量与矩阵的范数定义：设是实数域（或复数域）上的维线性空间，对于中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为的范数，记为，并且要求范数满足下列运算条件：（1）非负性：当只有且仅有当（2）齐次性：为任意数。VRnVC0,00,0,kkk（3）三角不等式：对于中的任意两个向量都有例：在维线性空间中，对于任意的向量定义V,nnC12(,,,)nnaaaC11122211(1)(2)()(3)maxniiniiiinaaa证明：都是上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设nC12,,'1'212'2(1)(2)(3)nnn1212,,,,,,,TTnnnaaabbbC则其中且。引理（Minkowski不等式）：设则11111()()nnnpqpqiiiiiiiabab1,1pq111pq1212,,,,,,,TTnnnaaabbbC111111()()()nnnppppppiiiiiiiabab其中实数。几种常用的范数定义：设向量，对任意的数，称为向量的范数。常用的范数：（1）1－范数p12,,,Tnaaa1p11()nppipiap11niia1p（2）2－范数也称为欧氏范数。（3）－范数定理：证明：令，则1212221()()nHiia1maxiinalimpp1maxiinxa,1,2,,iiayinx于是有另一方面11()nppipixy111111()npiinpppiiynyn11lim()1nppipiy故由此可知定义：设是维线性空间上定义的两种向量范数，如果存在两个与无关的正数使得1limmaxippinxanV,ab12,dd12,babddV定理：有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例：设是上的向量范数，且，则由所定义的是上的向量范数。例：设数域上的维线性空间，VmCb,()mnACrankAn,nabACanCVFn为其一组基底，那么对于中的任意一个向量可唯一地表示成又设是上的向量范数，则由所定义的是上的向量范数。矩阵范数V12,,,n121,,,,nniinixXxxxFnFVXVV定义：对于任何一个矩阵，用表示按照某一确定法则与矩阵相对应的一个实数，且满足AA（1）非负性：当只有且仅有当（2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵都有0,0AA0,0AA,kAkAk,ABABABmnAC（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵，都有那么我们称是矩阵的范数。例1：对于任意，定义可以证明如此定义的的确为矩阵的范数。,ABABABAAmnAC11mnijijAaAA证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设，则,mppnACBC11111111111111[()()]()()ppmnmnikkjikkjijkijkppmnikkjijkkppmnikkjikjkABababababAB例2：设矩阵，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设，那么nnAC,maxijijAna,nnnnACBC,,11,,,,maxmaxmaxmaxmaxmaxnnikkjikkjijijkkikkjikkjikkjikkjABnabnabnnabnanbAB因此为矩阵的范数。AA例3：对于任意，定义可以证明也是矩阵的范数。我们称此范数为矩阵的Frobenious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。设，则mnAC12211()mnijFijAaAAA,mllnACBC22211111122111122111122()[()()]()()mnlmnlikkjikkjFijkijkmnllikkjijkkmlnlikkjikjkFFABababababAB于是有例4：对于任意，定义证明如此定义的是矩阵的范数。证明：首先注意到这样一个基本事实，即由一个例题可知此定义满足范数的性质。nnAC12[()]HATrAAAA1122211[()]()mnHijijTrAAaFFFABABFrobenious范数的性质：（1）如果，那么（2）（3）对于任何阶酉矩阵与阶酉矩阵12nA2221niFiA21()()nHHiFiATRAAAAnmU都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设是矩阵的任意两种范数，则总存在正数使得VHFFFFFAUAAAVUAV,AA12,ddA12,mndAAdAAC诱导范数定义：设是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵与向量都有则称矩阵范数与向量范数是相容的。例1：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明:因为XAAXAXAXAX12211()mnijFijAa1212221()()nHiiXxXX根据Hoider不等式可以得到222211112211122111222()[()()]()()mnmnijjijjijijmnnijjijjmnnijjijjFAXaxaxaxaxAX于是有例2：设是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且是与向量范相容的矩阵范数。证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。22FAXAXX0maxiXAXAXiAX设，那么0B000000()maxmax()()maxmaxmaxmaxiXXBXXXXiiABXABXBXABXBXXABXBXBXXAXBXXXAB因此的确满足矩阵范数的定义。iA最后证明与是相容的。由上面的结论可知这说明与是相容的。定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数所诱导的诱导范数或算子范数。由iAXiiAXAXAXAXiAXX向量P--范数所诱导的矩阵范数称为矩阵P--范数。即常用的矩阵P--范数为，和。定理：设，则（1）我们称此范数为矩阵的列和范数。pX0maxppXpAXAX1A2AAmnAC11max(),1,2,,mijjiAajnA（2）表示矩阵的第个特征值。我们称此范数为矩阵的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵的行和范数。例1：设122max(()),()HHjjjAAAAAHAAjA1max(),1,2,,nijijAaimA210023120A计算，，和。解：1A2AAFA15A5A23FA215A500096069HAA因为所以。练习：设或0110000iAi100010001A分别计算这两个矩阵的，，和。例2：证明：对于任何矩阵都有2A1AAFAmnAC11222222221HTHTHAAAAAAAAAAAA如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设是矩阵范数，则存在向量范数使得证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且*AX*AXAX*HXX****HHAXAXAXAX例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取。设*11mnijijAAa010T12TnXxxx那么矩阵的谱半径及其性质定义：设，的个特征值为，我们称为矩阵的谱半径。例1：设，那么1*1nHiiXXxXmnACnA12,,,n12()max{,,,}nAAmnAC()AA这里是矩阵的任何一种范数。例2：设是一个正规矩阵，则证明：因为AAA2()AA222220022maxmax()()HHHXXHAXXAAXAXXXAAA于是有例3：设是上的相容矩阵范数。证明：（1）（2）为可逆矩阵，为的特征值则有2()AAnnC1IAA11AA例5：如果，则均为可逆矩阵，且这里是矩阵的算子范数。矩阵序列与极限定义：设矩阵序列，其中1AIA111()11IAAAAA(){}kA()()kkmnijAaC，如果个数列都收敛，则称矩阵序列收敛。进一步，如果那么我们称矩阵为矩阵序列的极限。mn(){},1,2,,;1,2,,kijaimjn(){}kA()limkijijkaa()lim[]kijkAAaA(){}kA例：如果设，其中那么()()22kkijAaC()()111221()()212221,(01)3(1),kkkkkkkaarrkkkarrakk()103lim11kkAA定理：矩阵序列收敛于的充分必要条件是其中为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数必要性：设(){}kAA()lim0kkAA()kAA11mnijijAa()lim[]kijkAAa那么由定义可知对每一对都有从而有上式记为,ij()lim0(1,2,,;1,2,,)kijijkaaimjn()11lim0mnkijijkijaa()lim0kkAA充分性：设那么对每一对都有即()()11limlim0mnkkijijkkijAAaa,ij()lim0(1,2,,;1,2,,)kijijkaaimjn()lim(1,2,,;1,2,,)kijijkaaimjn故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知()lim[]kijkAAaA()()()12kkkdAAAAdAA这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设()lim0kkAA()lim0kkAA()()lim,limkkkkAABB则（3）设，其中，那么（4）设，其中()()lim,,kkkaAbBaAbBabC()()lim,limkkkkAABB()(),kmlklnACBC()()limkkkABAB()limkkAA(),,kmnmmnnACPCQC那么（5）设，且，均可逆，则也收敛，且例1：若对矩阵的某一范数，则()limkkPAQPAQ()limkkAA(){}kAA()1{()}kA()11lim()kkAAA1Alim0kkA例2：已知矩阵序列：则的充要条件是。证明：设的Jordan标准形其中2,,,,,kAAAlim0kkA()1AA1122diag((),(),,())rrJJJJ1()(1,2,,)1iiiiiiiddJir