14.3.2公式法——完全平方公式

1.具备什么特征的多项式是平方差式?一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异.2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ3.分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式.4.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.温故知新练习22243)3(yxyx2323554yaxa①-9x2+4y2②64x2-y2z2(5)9(m+n)2-(m-n)2解：（5）9(m+n)2-(m-n)29(m+n)2-(m-n)2＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n)想一想:以前学过两个乘法公式2222bababa2222bababa2222bababa2222bababa把两个公式反过来就得到形如的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.222baba222baba具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.例1:下列各多项式是不是完全平方式?若是,请找出相应的a和b.361212xx2223yxxy2222yxxy96)5(2baba2293414nmnm多项式－x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项式能否进行因式分解?分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式.解：－x2-4y2+4xy=－(x2－4xy+4y2)=－[x2－2·x·2y+(2y)2]=－(x－2y)2.注意：1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.2.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.例2把(x+y)2-6(x+y)+9分解因式.分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y)2和32，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为(x+y)2-6(x+y)+9=a2-6a+9，因而能运用完全平方公式，得到(a-3)2.在解题过程中，可以把代换这一步骤省略.解：(x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2·(x+y)·3+32=(x+y-3)2.例3.把m2-10m(a+b)+25(a+b)2分解因式.•问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式?为什么?•答：可以把m2-10m(a+b)+25（a+b)2写成m2-2·m·5(a+b)+[5(a+b)]2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.解：m2-10m(a+b)+25(a+b)2=m2-2·m·5(a+b)+[5(a+b)]2=[m-5(a+b)]2=(m-5a-5b)2.注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式(或数)，也可以是多项式.例4把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m4-72m2n2+16n4.请同学观察和分析，这两个多项式的结构有什么特点?怎样分解因式?答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2).括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解.所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2)2，16n4=(4n2)2，中间项72m2n2=2·9m2·4n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解.解(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.(2)81m4-72m2n2+16n4=(9m2)2-2·9m2·4n2+(4n2)2=(9m2-4n2)2.问：做到这一步还能不能继续再分解?答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式.原式=(9m2-4n2)2=[(3m)2-(2n)2]2=[(3m+2n)(3m-2n)]2=(3m+2n)2(3m-2n)2.小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它分解因式.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b)2.3.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.4.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.5.当给出的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式.6.把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；当多项式可以看作是二次三项式时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.三、课堂练习•把下列各式分解因式：•(1)(x+y)2－10(x+y)+25；(2)－2xy－x2－y2；•(3)ax2+2a2x+a3；(4)－a2c2－c4+2ac3；•(5)(a+b)2－16(a+b)+64；(6)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；•(7)(m2－6)2－6(m2－6)+9；(8)a4－8a2b2+16b4.•答案：•(1)(x+y－5)2；(2)－(x+y)2；•(3)a(x+a)2；(4)－c2(a－c)2；•(5)(a+b－8)2；(6)(x+1)4；•(7)(m+3)2(m－3)2；(8)(a+2b)2(a－2b)2.211236xx2(3)69abab2222xyxy把以下四个多项式分解因式abba44422(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2反过来得到：整式乘法分解因式两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这两数和的平方．（或减去）（或者差）情景导入复习&思考☞a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2用完全平方公式可以把一个三项式分解因式•其中两项是两个数的平方和且符号相同•另一项是这两个数积的两倍222首首尾尾2961xx22(3)2(3)11xx2(31)xa2-2ab+b2=(a-b)2例如：复习&思考☞2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2xyxxyyxxyyxxyyxxyy；；；；．1．判别下列各式是不是完全平方式．不是是是不是你能总结出完全平方式的特点吗？是2241).6(yxyx是共3项其中2项是完全平方,且同号另1项是积的2倍感受新知下列各式是不是完全平方式2222222221224436144524xyxyxxyyaabbxxaabb是是否是否感受新知2222222(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129xxaxxxxmmyxyx；；；；；．1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的各表示什么？是不是不是是不是是ab、3.axb表示表示，1.2mab表示表示，23.aybx表示表示，因式分解感受新知2．请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．22222222421_____249______3_____414_____452_____xyabxyabxxy；；；；．2xy12ab4xyab2y____6).6(2xyx(-9y2)因式分解例1把下列各式分解因式:若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。(1)16x2+24x+9=(4x)2a2+2·a·b+b2=(a+b)2=(4x+3)2+2·4x·3+32因式分解感受新知例1把下列各式分解因式:(2)x2-10xy+25y2=x2a2-2·a·b+b2=(a-b)2=(x-5y)2-2·x·5y+(5y)2感受新知例1把下列各式分解因式:(3)-x2+4xy-4y2=-【x2】a2-2·a·b+b2=(a-b)2=-(x-2y)2-2·x·2y+(2y)2=-(x2-4xy+4y2)平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面感受新知分解因式：2296).1(babaxx41).2(22269).3(nmnm22)3(32bbaa2)3(ba212)21(22xx2)21(x)69(22nmnm2232)3(nnmm2)3(nm2)(4)(41).4(yxyx2)(2)(2121yxyx2)221(yx感受新知---练一练(1)4+9a2-12a(2)-a2-4ab-4b2(3)-25x2+30xy-9y2(4)4-12(x-y)+9(x-y)2（5）m2+10m(a+b)+25(a+b)2=(2-3a)2(1)=4+9a2-12a(2)=-(a2+4ab+4b2)=-(a+2b)2(3)=-(25x2-30xy+9y2)=-(5x-3y)2(4)=【2-3(x-y)】2=(2-3x+3y)2(5)=(m+5a+5b)2继续探索---试一试axyayax633)2(22(1)625x4-50x2+1•分解因式时，要分解到不能再分解为止.=(25x2)2-50x2+1=(25x2-1)2=(5x+1)2(5x-1)2)2(322xyyxa2)(3yxa•如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.继续探索---试一试1.-8x2y-2x3-8xy2=-2x(x2+4xy+4y2)=-2x(x+2y)22.9(a+b)2-12(a2-b2)+4(a-b)2=【3(a+b)】2-2·3(a+b)·2(a-b)+【2(a-b)】2=【3(a+b)-2(a-b)】2=(a+5b)2继续探索---试一试三、利用因式分解计算1．39.82－2×39.8×49.8＋49.822．732＋27×146＋272.2221,22.322的值求已知nmnmnm01249.42xx解方程：拓展运用---试一试2.下面因式分解对吗？为什么？b