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专插本-高等数学(第4期)授课教师:李晶辉2011年11月考试题型与分值比例123选择填空计算15%15%48%3'515'3'515'6'848'4(易):4(中):2(难)综合22%11'222'4考试内容4123函数、极限和连续一元函数微分学一元函数积分学多元函数微积分20%27%23%20%5常微分方程初步10%函数、极限和连续第一章极限、连续与间断函数的概念:函数的定义,函数的表示法,分段函数。1.函数的定义设D是一个非空的实数集,如果有一个对应规划f,对每一个xD,都能对应惟一的一个实数y,则这个对应规划f称为定义在D上的一个函数,记以y=f(x),称x为函数的自变量,y为函数的因变量或函数值,D称为函数的定义域,并把实数集|(),ZyyfxxD称为函数的值域。2.函数的表示法:表格法、图形法、解析法(公式法)3.分段函数如果自变量在定义域内不同的值,函数不能用同一个表达式表示,而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如:211()-1151xxyfxxxxx 是一个分段函数,它有两个分段点,x=-1和x=1,它们两侧的函数表达式不同,因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时,必须分别先讨论左、右极限,左、右连续性和左、右导数。需要强调:分段函数一般不是初等函数,不能用初等函数在定义域内连续这个定理。4.隐函数(补充)形如y=f(x)有函数称为显函数,由方程F(x,y)=0确定的y=y(x)称为隐函数,有些隐函数可以化为显函数(不一定是一个单值函数),而有些隐函数则不能化为显函数。函数的简单性质1.单调性设fx在X上有定义,若对任意1212xXxXxx,,都有12fxfx12fxfx,则称fx在X上是单调增加的单调减少的;若对任意1212xXxXxx,,都有1212fxfxfxfx,则称fx在X上是单调不减单调不增。(注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)函数的简单性质2.奇偶性设区间X关于原点对称,若对xX,都有fxfx,则称fx在X上是奇函数;若对xX,都有fxfx,则称fx在X上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称;偶函数图像关于y轴对称。3.有界性设函数y=f(x)在X内有定义,若存在正数M,使xX都有()fxM,则称f(x)在X上是有界的。函数的简单性质4.周期性设fx在X上有定义,如果存在常数0T,使得任意xX,xTX,都有fxTfx,则称fx是周期函数,称T为fx的周期。周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中的最小正周期称为周期。反函数如果y=f(x)可以解出()xy是一个函数(单值),则称它为f(x)的反函数,记以1()xfy。有时也用1()yfx表示。提醒大家注意两点:反函数的定义域是原函数的值域;反函数的图形与原函数的图形关于直线yx对称.函数的四则运算与复合运算设()yfu定义域U()ugx定义域X,值域U*如果*UU,则[()]yfgx是定义在X上的一个复合函数,其中u称为中间变量。复合函数有两种常见题型:一是将简单函数复合成一个复杂函数,这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空;二是将复杂函数分解简单函数(大部分是基本初等函数).基本初等函数1.常值函数y=C(常数)2.幂函数yx(α常数)3.指数函数xya(a>0,a≠1常数)xye(e=2.7182…,无理数)4.对数函数logayx(a>0,a≠1常数)常用对数10loglgyxx自然对数loglneyxx基本初等函数5.三角函数sin;cos;tan.yxyxyxcot;sec;csc.yxyxyx6.反三角函数arcsin;cos;yxyarcxarctan;cot.yxyarcx基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要,影响深远。例如以后经常会用limarctanxx;limarctanxx;10limxxe;10limxxe;0limlnxx等等,就需要对arctanyx,xye,lnyx的图像很清晰。初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。数列极限的定义limnnxA(称数列nx收敛于A)任给0,存在正整数N,当nN时,就有nxA.函数极限的概念1.函数在一点处的极限定义0limxxfxA任给0,存在正数,当00xx时,就有fxA。2.左、右极限及其与极限的关系(1)0limxxfxA(用00fx表示)(2)0limxxfxA(用00fx表示)注:000limlimlimxxxxxxfxAfxfxA3.趋于无穷大(,,)xxx时函数极限的定义(1)lim()xfxA(2)lim()xfxA(3)lim()xfxA函数极限的性质1.唯一性:设limfxA,limfxB,則AB2.有界性:设limfxA,则fx是局部有界的。3.四则运算定理:设limfxA,limgxB则(1)limfxgxAB(2)limfxgxAB(3)limfxgxAB(4)limfxAgxB0B(5)limgxBfxA0A4.夹逼原则(夹逼定理)设gxfxhx若limlimgxAhxA,,则limfxA无穷小量与无穷大量1.无穷小量与无穷大量的定义无穷小量定义:若lim0fx,则称fx为无穷小量无穷大量定义:任給0M,当x变化一定以后,总有fxM,则称fx为无穷大量,记limfx。2.无穷小量与无穷大量的性质(1)有限个无穷小的和是无穷小(2)有限个无穷小的积是无穷小(3)无穷小量乘以有界量是无穷小(4)在x的同一个变化过程中,若fx为无穷大量,则1fx为无穷小量,若fx为无穷小量且0fx,则1fx为无穷大量。2.两个无穷小量阶的比较设lim0lim0fxgx,,且limfxlgx(1)0l,称fx是比gx高阶的无穷小量,记以fxogx称gx是比fx低阶的无穷小量,(2)0l,称fx与gx是同阶无穷小量。(3)1l,称fx与gx是等价无穷小量,记以fxgx4.常见的等价无穷小(补充)当0x时sintanarcsinarctanxxxxxxxx,,,211cosln11,112axxxxxexxax,,(a为实常数)5.等价无穷小的替换(补充)设,是同一过程中的无穷小,,,且~,~,lim存在,则.limlim函数连续的概念1.函数在一点连续定义1设函数yfx在点0x的某个邻域内有定义,如果当自变量的改变量x(初值为0x)趋近于0时,相应的函数改变量y也趋近于0,即0lim0xy或000lim0xfxxfx定义2设函数yfx在点0x的某个邻域内有定义,如果当0xx时,函数fx的极限值存在,且等于0x处的函数值0fx,即00limxxfxfx则称函数yfx在点0x处连续函数连续的概念2.左连续和右连续的定义设函数yfx,如果00limxxfxfx,则函数fx在点0x处左连续;如果00limxxfxfx,则称函数fx在点0x处右连续。3.函数在一点连续的充分必要条件如果函数yfx在点0x处连续,当且仅当fx在0x处既左连续也右连续。4.函数在区间上的连续如果函数yfx在开区间ab,内的每一点都连续,则称fx在ab,内连续。如果yfx在开区间内连续,在区间端点a右连续,在区间端点b左连续,则称fx在闭区间ab,上连续。5.函数的间断点及其分类1.函数的间断点的定义如果函数yfx在点0x不连续,则称0x为fx的间断点。间断点在该点不连续第一类间断点左右极限存在第二类间断点左右极限中至少有一个不存在可去间断点左右极限相等但不等于函数值跳跃间断点左右极限不相等间断点类型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0x可去型oyx0x函数连续的性质1.四则运算连续性:在区间I连续的函数的和、差、积及商(分母不为零),在区间I仍是连续的。2.复合函数连续性:由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。闭区间上连续函数的性质1.有界性定理:如果函数fx在闭区间ab,上连续,则fx必在ab,上有界。2.最大值与最小值定理如函数fx在闭区间ab,上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下:3.价值性定理(含零点定理)如果函数fx在闭区间ab,上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数C,在ab,上至少存在一个,使得fC推论:如果函数fx在闭区间ab,上连续,且fa与fb异号,则在ab,内至少存在一个点,使得0f一元函数微分学第二章一元函数微分学导数概念:1.导数如果极限0000limlimxxfxxfxyxx存在,则称此极限为函数fx在0x处的导数(也称微商)导数定义的另一等价形式,令0xxx,0xxx,则0000limxxfxfxfxxx记作0fx或000xxxxdfxdyyxxdxdx,,等导数概念:2.左导数与右导数的定义右导数:0000000limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx左导数:0000000limlimxxxfxfxfxxfxfxxxxfx在点0x处可导fx在点0x处左、右导数皆存在且相等。导数概念:3.导数的几何意义如果函数yfx在点0x处导数0fx存在,则在几何上0fx表示曲线yfx在点00xfx,处的切线的斜率。切线方程000yfxfxxx法线方程:000010yfxxxfxfx 4.可导与连续的关系。如果函数yfx在点0x处可导,则fx在点0x处一定连续,反之不然,即函数yfx在点0x处连续,却不一定在点0x处可导,例如,yfxx,在00x处连续却不可导。求导方法1.函数的四则运算求导法fxgxfxgxfxgxfxgxfxgx20fxfxgxfxgxgxgxgx 2.复合函数的求导法设yfuux,,如果x在x处可导,fu在对应点u处可导,则复合函数yfx在x处可导,且有dydydufxxdxdudx对应地dyfudufxxdx4.对数求导法先对所給函数式的两边取对数,然后两边对x求导数。对数求导法主要用于:①
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