函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)

函数专题四1第1页恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin8、若不等式fxgx在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；函数专题四2第2页二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（构造新函数）2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可．对12)(23xxxx求导，0)12(12)(2224xxxx，故)(x在]2,1[x是增函数，32)1()(minx，所以a的取值范围是320a．例2、设函数bxxaxh)(，对任意]2,21[a，都有10)(xh在]1,41[x恒成立，求实数b的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法2：变量分离，)(10xxab或xbxa)10(2；方法3：变更主元（新函数），0101)(bxaxa，]2,21[a简解：方法1:对bxxaxh)(求导，22))((1)(xaxaxxaxh，（单调函数）由此可知，)(xh在]1,41[上的最大值为)41(h与)1(h中的较大者．ababbabahh944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[a，得b的取值范围是47b．例3、已知两函数2)(xxf，mxgx21)(，对任意2,01x，存在2,12x，使得21)(xgxf，则实数m的取值范围为答函数专题四3第3页案：41m题型二、更换主元和换元法例1、已知函数()ln()(xfxeaa为常数）是实数集R上的奇函数，函数()singxfxx是区间1,1上的减函数，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若2()11,1gxttx在上恒成立，求t的取值范围；(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在,1内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：()fxx，()singxxx，()gx在11，上单调递减，()cos0gxxcosx在11，上恒成立，1，max()(1)sin1gxg，只需2sin11tt，2(1)sin110tt（其中1）恒成立，由上述②结论：可令2(1)sin110(1ftt）,则2t101sin110tt，21sin10ttt，而2sin10tt恒成立，1t。例2、已知二次函数1)(2xaxxf对2,0x恒有0)(xf，求a的取值范围。解：对2,0x恒有0)(xf即012xax变形为)1(2xax当0x时对任意的a都满足0)(xf只须考虑0x的情况2)1(xxa即211xxa要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。现求211xx在2,0x上的最大值。令211txt41)21()(22ttttg（21t）43)21()(maxgtg所以43a又1)(2xaxxf是二次函数0a所以43a且0a例3、对于满足0a4的所有实数a求使不等式342axaxx都成立的x的取值范围答案：1x或3x题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）函数专题四4第4页此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有()()fxga恒成立，则min()()gafx；若对于x取值范围内的任一个数都有()()fxga恒成立，则max()()gafx.例1、当1,2x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.解析:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.∴5m.例2、已知函数()ln()xfxea（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数()cosgxxx在区间2,33上是减函数.（Ⅰ）求a的值与的范围；（Ⅱ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有()1gxt在2,33上恒成立，求实数t的取值范围.（Ⅲ）若0m，试讨论关于x的方程2ln2()xxexmfx的根的个数.解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略（Ⅱ）由题意知，函数()cosgxxx在区间2,33上是减函数.max1()(),332gxg()1gxt在2,33上恒成立11,32t132t(1)1,.32t题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））例1、若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________解析：函数专题四5第5页对xR,不等式||xax恒成立、则由一次函数性质及图像知11a，即11a。例2、不等式)4(xxax在]3,0[x内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个凼数axy和)4(xxy在]3,0[x上的图象如图33a知当3x时3y，当33a]3,0[x时总有)4(xxax所以33a例4、已知函数36,2(),63,2xxyfxxx若不等式()2fxxm恒成立，则实数m的取值范xy03axy||yx||yxyaxyaxxyO||yx||yxyaxyaxxyO函数专题四6第6页围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数2yxm及()yfx的图象，由于不等式()2fxxm恒成立，所以函数2yxm的图象应总在函数()yfx的图象下方，因此，当2x时，40,ym所以4,m故m的取值范围是4,.题型五、其它（最值）处理方法若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的minfxB.利用不等式性质1、存在实数x，使得不等式2313xxaa有解，则实数a的取值范围为______。解：设31fxxx，由23fxaa有解，2min3aafx，又31314xxxx，∴234aa，解得41aa或。2、若关于x的不等式axx32恒成立，试求a的范围解：由题意知只须a比32xx的最小值相同或比其最小值小即可，得min)32(xxa由5)3(232xxxx所以5a利用分类讨论1、已知函数422)(axxxf在区间[-1，2]上都不小于2，求a的值。解：由函数422)(axxxf的对称轴为x=a所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1）．当a2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min)(xf=f(2)=4-4a+42即a23结合a2，所以a22）．当a1时f(x)在[-1，2]上是增函数，此时f(-1)=1+2a+42Oxy()yfx2yxm2函数专题四7第7页min)(xf=f(-1)=1+2a+42结合a1即a233）．当-1a2时min)(xf=f(a)=24222ax即a2或a2所以22a综上1，2，3满足条件的a的范围为：a23或a2利用导数迂回处理1、已知)1lg(21)(xxf)2lg()(txxg若当]1,0[x时)()(xgxf在[0，1]恒成立，求实数t的取值范围解：)()(xgxf在[0，1]上恒成立，即021txx在[0，1]上恒成立即021txx在[0，1]上的最大值小于或等于0令txxxF21)(所以121412121)('xxxxF，又]1,0[x所以0)('xF即)(xF在[0，1]上单调递减所以)0(max)(FxF，即01)0()(tFxF得1t2、已知函数21ln202fxxaxxa存在单调递减区间，求a的取值范围解：因为函数fx存在单调递减区间，所以2'12120axxfxaxxx0,有解.即2120,axxx能成立,设212uxxx.由2212111uxxxx得,min1ux.于是,1a,由题设0a,所以a的取值范围是,00,13、已知函数3()(ln),().3afxxxmgxxx（Ⅰ）当2m时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若32m时，不等式()()gxfx恒成立，求实数a的取值范围.函数专题四8第8页解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当32m时，不等式()()gxfx即33(ln)32axxxx恒成立.由于0x，231ln32axx，亦即21ln32axx，所以213(ln)2xax.令()hx213(ln)2xx，则36ln()xhxx，由()0hx得1x.且当01x时，()0hx；当1x时，()0hx，即()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以()hx在1x处取得极大值3(1)2h，也就是函数()hx在定义域上的最大值.因此要使213(ln)2xax恒成立，需要32a，所以a的取值范围为3,2.注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结