1.1.1命题及其关系(公开课)

常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.1.1命题及其关系下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若x2=1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等;(6)3能被2整除.(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.特点：①都是陈述句②都可以判断真假命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题判断为真的语句叫真命题。判断为假的语句叫假命题。理解：1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必须确定,判断的结果可真可假,但真假必居其一.2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假.练习三维设计P2~3下列四个命题中,命题(1)与命题2,3,4的条件和结论之间分别有什么关系?(1)若两个角是对顶角,则它们相等；(2)若两个角相等,则它们是对顶角；(3)若两个角不是对顶角,则它们不相等；(4)若两个角不相等,则它们不是对顶角探究点一四种命题原命题：逆命题：否命题：逆否命题：若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐ppqqp原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p¬¬p,q若则¬¬q,p若则四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆例1把下列命题写如果p,则q的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)原命题:如果a是正数,则a的平方根不等于0.逆命题:如果a的平方根不等于0,则a是正数.否命题:如果a不是正数,则a的平方根等于0.逆否命题:如果a的平方根等于0,则a不是正数.(2)原命题:如果x＝2,则x2＋x－6＝0.逆命题:如果x2＋x－6＝0,则x＝2.否命题:如果x≠2,则x2＋x－6≠0.逆否命题:如果x2＋x－6≠0,则x≠2.例2：写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题、否命题和逆否命题．练习1：写出命题“若ab=0,则a,b中至少有一个为零”的否命题,并判断其真假。逆命题:若a+b是偶数,则a和b都是偶数否命题:若a和b不都是偶数,则a+b不是偶数逆否命题:若a+b不是偶数,则a和b不都是偶数关键词否定关键词否定是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有(n-1)个至少有(n+1)个存在某x，不成立存在某x，成立跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数;(2)若x、y都是奇数,则x＋y是偶数.解(1)原命题是真命题.逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真(2)原命题是真命题.逆命题:若x＋y是偶数,则x、y都是奇数;假否命题:若x、y不都是奇数,则x＋y不是偶数;假逆否命题:若x＋y不是偶数,则x、y不都是奇数.真探究点二四种命题的关系问题1通过以上学习,你认为如果原命题为真,那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的?原命题为真,它的逆命题,否命题不一定为真.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.问题2原命题为真,它的逆否命题的真假性如何?原命题为真,它的逆否命题一定为真,两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同.问题3四种命题中,真命题的个数可能为多少?四种命题中,真命题的个数可能为0,2,4.结论原命题和逆否命题真假性相同,逆命题和否命题真假性相同.四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系;(3)四个命题中真命题的个数是偶数个结论原命题和逆否命题真假性相同,逆命题和否命题真假性相同.例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2bc2，则ab”的逆命题.其中的真命题是__________.①②③跟踪训练2有下列四个命题：①若x＋y＝0,则x、y互为相反数的否命题;②若a≥b,则a2≥b2的逆否命题;③若x≤3,则x2－x－60的否命题;④对顶角相等的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3B探究点三等价命题的应用我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.:()(,),,,()()()(),0.3fxabRfafbfafbab例证明已知函数是上的增函数若则:()(,),,,()()()(),0.3fxabRfafbfafbab例证明已知函数是上的增函数若则证明(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a,b∈R,若a＋b0,则f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b).”若a＋b0,则a－b,b－a,又∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数，∴f(a)f(－b),f(b)f(－a).∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.方法二假设a＋b0,则a－b,b－a,又∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,∴f(a)f(－b),f(b)f(－a).∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b).因此假设不成立，故a＋b≥0.这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾.小结在解答命题的过程中很容易把逆否命题的证法与反证法混淆,导致错误的原因是忽视了这两种证法的本质区别.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.跟踪训练3证明:若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1.1.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B2.命题“如果x21，则－1x1”的逆否命题是()A.如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1B.如果－1x1，则x21C.如果x1或x－1，则x21D.如果x≥1或x≤－1，则x2≥1解析原命题结论“－1x1”的否定是“x≤－1或x≥1”，原命题条件“x21”的否定是“x2≥1”，故逆否命题是：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.D小结：命题概念：真假命题：命题形式：四种命题原命题：逆命题：否命题：逆否命题：若p，则q若q，则p若┐p，则┐q若┐q，则┐p若p，则q用语言。符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。