二次积分模型的时间最优控制

1()控制。次的最优控制是最多切换一优控制存在，且唯一，时间最，可知系统是正常的，～应用定理时间最短。转移到状态空间原点的初态，使系统由任意的最优控制规律约束，求满足，已知受控系统问题优控制二次积分模型的时间最BangBangxxtutuuxxx−≤==6.4.41.4.4,)(1)(3.4.43.4.42010*221&&2{}0)()()()(1)()()()(10))()(),(())()(),(()4)(sgn)())()(),((min))()(),((30)(0)()0()0(2)()()()(1),,()()(0)()()(1221221*******2**)(**2120210122112211221=++=++==−======++=−=∂∂−=∂∂−==∈ffffVtufftuttxttuttxtttutxHttutxHttuttutxHttutxHtxtxxxxxtuttxtuxHtxHtxHtutxxtxfffλλλλλλλλλλλλλλλ即，，即，，）极值条件，，）边界条件其中＝＝）正则方程解的必要条件为：应用极小值原理，最优&&&&3是一线性函数。不同时为零。则、可知，，根据由协态方程可得)(0)()()()(1))()(),(()()(221*2*21**21211tcctuttxtttutxHctctconstctλλλλλλ=++=+−===4{}{}{}{}111111)(*，、，、、：有四种可能的控制序列因此−−−tu5为一簇抛物线。可为任意值时，相轨迹，当初态，可得相轨迹方程消去由状态方程解得的关系。与立利用相平面分析法，建)(2121)(21)()()(201022010221202220101*xxxuxxuxtutxtxuttxxtxtxtu−+=+=++=6()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤==−+021:,021:,222121222121xxxxxrxxxxxr，，7()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−===+−+−−+−+−[phone]*21:,21:,21:,)(xxxxxRxxxxxRRRxxxxxrrrrrturr＝＝，则和记为将相平面分为两部分，开关曲线上发生。或的切换必然在的一部分。或为最优轨线的最后一段必U8⎩⎨⎧∈∀−∈∀+=−−++RrxxRrxxxuUU),(1),(1)(3.4.42121*对，对，的最优控制规律为问题9⎪⎩⎪⎨⎧=−−+=+=0),()sgn(0),(10),(1)(3.4.421),(2122121*22121xxhxxxhxxhxuxxxxxh当，当，当，的最优控制也可表示为则问题定义开关函数10()的时间最短。转移到目标集初态，使系统由任意的最优控制规律约束，求满足，已知受控系统问题0)(,)(1)(4.4.422010*221=≤==ftxxxtutuuxxx&&11{}0)()()()(1)()()()(10))()(),(())()(),(()4)(sgn)())()(),((min))()(),((30)(0)()0()0(2)()()()(1),,()()(0)()()(1221221*******2**)(**2120210122112211221=++=++==−======++=−=∂∂−=∂∂−==∈ffffVtufftuttxttuttxtttutxHttutxHttuttutxHttutxHtxtxxxxtuttxtuxHtxHtxHtutxxtxfffλλλλλλλλλλλλλλλλ即，，即，，）极值条件，，）边界条件其中＝＝）正则方程解的必要条件为：应用极小值原理，最优&&&&12[]{}{}{}不发生切换。、一：为下列两种控制序列之因此为非零常数。可知，，根据可得由协态方程及横截条件11)(sgn)(0)()()()(1))()(),((,0)(0)(2*2*2*21**21−−==++=∈∀⎭⎬⎫==ttututtxtttutxHttconstttfλλλλλλλ13为一簇抛物线。可为任意值时，相轨迹，当初态，可得相轨迹方程消去状态方程解得利用相平面分析法，由)(2121)(21)(201022010221202220101xxxuxxuxtutxtxuttxxtx−+=+=++=14{})(sgn)(4.4.42*txxu−=的最优控制规律为问题15()的时间最短。转移到目标集初态，使系统由任意的最优控制规律约束，求满足，已知受控系统问题0)(,)(1)(5.4.412010*221=≤==ftxxxtutuuxxx&&16{}0)()()()(1)()()()(10))()(),(())()(),(()4)(sgn)())()(),((min))()(),((30)(0)()0()0(2)()()()(1),,()()(0)()()(1221221*******2**)(**2120210122112211221=++=++==−======++=−=∂∂−=∂∂−==∈ffffVtufftuttxttuttxtttutxHttutxHttuttutxHttutxHttxxxxxtuttxtuxHtxHtxHtutxxtxfffλλλλλλλλλλλλλλλλ即，，即，，）极值条件，，）边界条件其中＝＝）正则方程解的必要条件为：应用极小值原理，最优&&&&17[]{}{}{}不发生切换。、形式之一：下列两种，可知最优控制序列为于是由恒为正或恒为负，为非零常数。因此可知，，根据＝可得，及横截条件，由协态方程11)(sgn)()(0)()()()(1))()(),((,0)()()(0)()()(0)(2*21*2*21**12112121−−==++=∈∀⎭⎬⎫−===−==ttuttuttxtttutxHtttttconsttttttfffλλλλλλλλλλλλλλ&&18为一簇抛物线。可为任意值时，相轨迹，当初态，可得相轨迹方程消去状态方程解得利用相平面分析法，由)(2121)(21)(201022010221202220101xxxuxxuxtutxtxuttxxtx−+=+=++=19{})(sgn)(5.4.41*txxu−=的最优控制规律为问题20()(){}的时间最短。转移到目标集初态，使系统由任意的最优控制规律约束，求满足，已知受控系统问题atxatxtxtxMxxtutuuxxxffff≤≤−==≤==)(,0)(:)(),(,)(1)(6.4.412212010*221&&21{}0)()()()(1)()()()(1)4)(sgn)(30))((0)(2)())(()(0)())((0)()0()0(:2)()()()(1),,()()(0)()()(12212212*221112222021012211221122111=++=++−==−≥=∂∂=≤−====++=−=∂∂−=∂∂−==fffffffffffftuttxttuttxtttuatxtxtxtxgtatxtxgtxxxxxtuttxtuxHtxHtxHtutxxtxλλλλλννννλλλλλλλ）极值条件，其中，，）边界条件其中＝＝）正则方程解的必要条件为：应用极小值原理，最优&&&&22为一簇抛物线。可为任意值时，相轨迹，当初态，可得相轨迹方程消去状态方程解得利用相平面分析法，由)(2121)(21)(201022010221202220101xxxuxxuxtutxtxuttxxtx−+=+=++=23[]{}{}{}不发生切换。、形式之一：下列两种，可知最优控制序列为因此由为非零常数。可知，，根据可得＝，及横截条件，由协态方程，这时，则若11)(sgn)(0)()()()(1))()(),((,0)(0)(0)(2)()()(0)(00)())((.12*2*2*21**22111121221−−==++=∈∀⎭⎬⎫====−===−=ttututtxtttutxHttconsttttxttttatxtxgfffffλλλλλλλλνλλλλν&&24{}{}0),(),(0),(),(2121),(),(1),(1)(221212212122122212121*∈=∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−=⎩⎨⎧∈∀+∈∀−=+−+−xGxxxxGxGxxxxGaxxxaxxxxGGxxGxxxu，，，，这时最优控制规律为25[]{}{}{}{}111111)()(0)()()()(1))()(),((,0)()(2)()(2)()()(0)(00)())((.2*221*2*21**21211111121221，、，、、：有四种可能的控制序列因此是一线性函数。不同时为零。则、可知，，根据可得，及横截条件，由协态方程，这时，则若−−−=++=∈∀⎭⎬⎫+−=====−==≥=−=tutcctuttxtttutxHttctctcconsttxttxttttatxtxgffffffλλλλλνλνλλλλν&&26⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=Γ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−=Γ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=+=Γ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−=Γ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−=⎩⎨⎧ΓΓ∈∀+ΓΓ∈∀−=++−−+−+++−−−021),(021),(021),(021),(21),(21),(),(1),(1)(221212221211221212221211221212212121212121*2222xxaxxxxxaxxxxxaxxxxxaxxxaxxxxxQaxxxxxQQxxQxxxu，，，，，，，，，这时最优控制规律为UUUU27⎩⎨⎧ΓΓ∈∀+ΓΓ∈∀−=++++−−−−GQxxGQxxxuUUUUUU21212121*),(1),(1)(6.4.4，，的最优控制规律为综上所述，问题28()控制。次的最优控制是最多切换一优控制存在，且唯一，时间最，可知系统是正常的，～应用定理时间最短。转移到状态空间原点的初态，使系统由任意的最优控制规律约束，求满足，已知受控系统问题优控制二次积分模型的时间最BangBangxxtutuuxxx−≤==6.4.41.4.4,)(1)(3.4.43.4.42010*221&&