第十四章-整式的乘法与因式分解【复习课件】

整式乘法与因式分解章末复习（人教版）知识框架知识清单详解知识点一：幂的运算1.同底数幂的乘法：底数不变，指数相乘。即：（m，n为整数）2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。即：（m，n为整数）3.积的乘方：积的乘方等于乘方的积。即：（m，n为整数）4.同底数幂的除法：底数不变，指数相减。即：（m，n为整数）5.零指数幂：除0外的任何数的零次方都得1.即：6.负整数指数幂：一个数的负整数指数幂等于它的正整数指数幂的倒数。即：nmnmaaamnnmaa)(mmmbaab)(nmnmaaa010aannaa1例题：类型一：同底数幂的乘法运算：下列计算正确的是（）A．B．C．D．442xxxxx42222xxxxxxx9432xxxx1053xxxxx分析：直接利用同底数幂的乘法的知识求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．解：A、（-x）•（-x）•（-x）2=（-x）4=x4，故本选项错误；B、-x•（-x）2•x2=-x•x2•x2=-x5，故本选项错误；C、（-x）2•（-x）3•（-x）4=-x9，故本选项错误；D、（-x）•（-x）3•（-x）5•x=-x10，故本选项正确．故选：DD例题：类型二：幂的乘方和积的乘方：计算（-2a2）3的结果等于（）A．-2a5B．-8a5C．-2a6D．-8a6分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．解：（-2a2）3=（-2）3（a2）3=-8a6．故选：DD例题：类型三：同底数幂的除法：下列计算错误的有（）①a8÷a2=a4；②（-m）4÷（-m）2=-m2；③x2n÷xn=xn；④x÷（-x）2=-1．A．1个B．2个C．3个D．4个分析：各项利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断解：①a8÷a2=a6，本选项错误；②（-m）4÷（-m）2=（-m）2=m2，本选项错误；③x2n÷xn=xn，本选项正确；④x÷（-x）2=x÷x2=x-1，本选项错误，则计算错误的有3个．故选：CC例题：类型四：零次幂的计算：下列计算一定正确的是（）A．（3x-2）0=1B．π0=0C．（a2-1）0=1D．（x2+2）0=1分析：根据非零数的零指数幂逐一判断即可解：A、当3x-2=0时，（3x-2）0=1无意义，错误；B、π0=1，错误；C、当a2-1=0，（a2-1）0=1无意义，错误；D、由x2+2＞0可得（x2+2）0=1，正确；故选：DD分析：根据负数指数幂的意义即可解答，x-n表示xn的倒数．故A、正确，B、正确，C、错误，D、正确，故选：C例题：类型五：负整数指数幂的运算：若a≠0，下面各式中错误的是（）881.1.)(1.(1.aaDaaCmaaBnaaAffmmnn为正整数为正整数）C解：∵xm+n=24，xm=8，∴xm•xn=8xn=24，解得：xn=3，则x3n=（xn）3=27例题：类型六：逆运算的应用：已知xm+n=24，xm=8，求x3n的值．分析：先利用同底数幂的乘法逆运算法则求出xn，再结合幂的乘方运算的逆运算法则计算得出答案知识点二：整式的乘法1.单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘。如：2a2b3•（-3a）=2×（-3）a2·a·b3=-6a3b32.单项式×多项式：用单项式去×多项式的每一项，得到单项式×单项式。然后按照单项式×单项式计算即可。如：-3x•（2x2y-xy）=-3x·2x2y-3x·（-xy）=-6x3y+3x2y3.多项式×多项式:用一个多项式的每一项×另一个多项式的每一项。变成单项式×单项式计算，最后合并同类项即可。如：（3m-n）（m+2n）=3m·m+3m·2n-n·m-n·2n=3m2+6mn-mn-2n2=3m2+5mn-2n2．例题：类型一：单项式的计算计算（1）2x2•（-xy）；（2）（-2a2b）•abc；（3）（-2xy2）•（3x2y）2；（4）（-2a2c）2•（-3ab2）：分析：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；（2）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；（3）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；（4）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘解：（1）2x2•（-xy）=-2x3y；（2）（-2a2b）•abc=-2a3b2c；（3）（-2xy2）•（3x2y）2=-2xy2•9x4y2=-18x5y4；（4）（-2a2c）2•（-3ab2）=4a4c2•（-3ab2）=-12a5b2c例题：类型二：单项式×多项式计算：计算：（1）（-2xy）（3x2-2xy-4y2）；（2）（-3x2y）2•（-4xy2-5y3-6x+1）；分析：（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（2）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案；解：（1）（-2xy）（3x2-2xy-4y2）=-6x3y+4x2y2+8xy3（2）（-3x2y）2•（-4xy2-5y3-6x+1）=-36x5y4-45x4y5-54x5y2-9x4y2例题：类型三：多项式×多项式：计算：（1）（x+1）（x2-x+1）；（2）（3x+1）（x2-2x+3）．分析：根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可解：（1）（x+1）（x2-x+1）=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1；（2）（3x+1）（x2-2x+3）=3x3-6x2+9x+x2-2x+3=3x3-5x2+7x+3例题：类型四：不含项计算：若（x2+mx-8）（x2-3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m+n的值．分析：直接利用多项式乘多项式运算得出结果，然后再利用不含项让x2和x3项的系数为零，即可得出答案解：原式=x4-3x3+nx2+mx3-3mx2+mnx-8x2+24x-8n，=x4+（m-3）x3+（n-3m-8）x2+（mn+24）x-8n，由题意知：展开式中不含x2和x3项，则有：m-3=0且n-3m-8=0，解得：m=3，n=17，故m+n=20知识点三：乘法公式1.平方差公式：(两数和）×（两数差）=两数平方差即：（a+b）（a-b）=a2-b2注：特点：其中一项相同，另一项互为相反数的两个二项式相乘，等于相同项的平方-相反数项的平方。2.完全平方公式：两数和的平方（两数差的平方）=两数分别平方的和＋（-）两数乘积的2倍。即：（a±b）2=a2+b2±2ab注：特点：一个二项式的平方，其中一项看成首项，另一项看成尾项，则等于首平方+尾平方，首尾两倍后面加。例题：类型一：平方差公式的运算：计算：（1）（a+2）（a-2）；（2）（3a+2b）（3a-2b）；（3）（-x-1）（1-x）；（4）（-4k+3）（-4k-3）分析：根据平方差公式计算：相同项的平方-相反数项的平方即可解：（1）原式=a2-22=a2-4；（2）原式=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2；（3）原式=（-x）2-12=x2-1；（4）原式=（-4k）2-32=16k2-9例题：类型二：完全平方公式的运算：计算：（1）（2m+3）2；（2）（-1.3a+2b）2；（3）（-2p-7q）2；（4）（a-3b）2；分析：利用完全平方公式计算各题即可，首平方+尾平方，首尾两倍后面加。解：（1）原式=4m2+9+12m；（2）原式=（-1.3a）2+2×（-1.3a）×2b+4b2=1.69a2+4b2-5.2ab；（3）原式=（-2p）2+（-7q）2-2×（-2p）×（-7q）=4p2+49q2+28pq；（4）原式=a2+9b2-ab；例题：类型三：平方差公式的应用：（1）计算2016×2012-20142=。（2）若x+y=2，x2-y2=4，则x-y=。分析：（1）将2012写成（2014-2），把2016写成（2014+2），再用平方差公式进行计算即可（2)根据平方差公式可得x2-y2=（x+y）（x-y）=4，然后把x+y=2代入即可求解解：（1）2016×2012-20142=（2014+2）（2014-2）-20142=20142-4-20142=-4(2)：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=4，∴2（x-y）=4，∴x-y=2-42例题：类型四：完全平方公式的应用：（1）y2-2（m-1）y+4是一个完全平方式，则m=。（2）用简便方法计算：20012-4002×2000+20002=。分析：（1）根据题意，中间项是2与y的乘积二倍项，列式求解即可（2)观察可得原式是2001和2000两数的平方和减去他们它们乘积的2倍，符合完全平方公式结构特征，因此可应用完全平方公式进行计算解：（1）∵-2（m-1）y=±2×2•y，∴m-1=±2，解得m=3，-1(2)：∵20012-2×2001×2000+20002，=（2001-2000）2=12=13，-11知识点四：整式的除法1.单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除。如：：-8a3b6÷4a2=（-8÷4）·（a3÷a2）·b6=-2ab62.多项式÷单项式：用多项式的每一项÷单项式，变成单项式÷单项式计算即可。如：（27m2n3-9mn2）÷（-3mn）=27m2n3÷（-3mn）-9mn2÷（-3mn）=-9mn2+3n例题：整式除法的计算：计算：（1）（-6a2b2c）2÷4ac2（2）（12a2m+1bm+3-20am+1b2m+4+4am+1bm+2）÷4ambm+1分析：（1）根据单项式的除法的运算法则计算可得；（2）根据多项式除单项式，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可解：（1）原式=（36a4b4c2）÷（4ac2）=9a3b4，故答案为：9a3b4（2）（12a2m+1bm+3-20am+1b2m+4+4am+1bm+2）÷4ambm+1=12a2m+1bm+3÷4ambm+1-20am+1b2m+4÷4ambm+1+4am+1bm+2÷4ambm+1=3am+1b2-5abm+3+ab知识点五：因式分解1.定义：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式叫做因式分解。注意：等号左边是一个多项式。等式右边是几个整式的乘积。2.具体方法：（1）提公因式法：①确定公因式：系数的最大公因数×相同字母的最低次幂。②确定剩余部分：用原多项式的每一项÷公因式。如：4a3b2-10a2b3：公因式为：2a2b2，每一项剩下的部分为：4a3b2÷2a2b2=2a；-10a2b3÷2a2b2=-5b。所以结果为：4a3b2-10a2b3=2a2b2（2a-5b）例题：提公因式法分解因式下列各式因式分解错误的是（）A．8x2y-24xy2=8xy（x-3y）B．ax+bx+ay+by=x（a+b）+y（a+b）C．12x2y+14x2y2-2xy=2xy（6x+7xy-1）D．x3-8=（x-2）（x2+2x+4）分析：根据已知得出多项式的公因式，提出公因式即可．解：A、8x2y-24xy2=8xy（x-3y），此选项正确，不合题意；B、ax+bx+ay+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y），此选项错误，符合题意；C、12x2y+14x2y2-2xy=2xy（6x+7xy-1），此选项正确，不合题意；D、x3-8=（x-2）（x2+2x+4），此选项正确，不合题意；故选：BB（1）公式法：①平方差公式：两数的平方差等于这两数的和×这两数的差。即：a2-b2=（a+b）（a-b）特点：多项式是两项，符号不同且都能写成平方的形式。则：分解结果=底数和×底数差。注：底数差时正项底数-负项底数例题：平方差公式分解因式：下列多项式中：①x2+4y2；②x2-4y2；③-x2+1；④-x2-y2．其中能用平方差公式分解因式的个数有几个？并分解出结果。分析：根据能够运用平方