2015高考数学(理)一轮题组训练：8-5空间向量及其运算

1第5讲空间向量及其运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是________．解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.答案02．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是________．解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴6＝kλ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.答案2，12或－3，123．(2014·济南月考)O为空间任意一点，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则A，B，C，P四点________(判断是否共面)．2解析∵OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，且34＋18＋18＝1.∴P，A，B，C四点共面．答案共面4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为________．解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案1455．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，M为BC中点，则△AMD是________三角形(直角、钝角、锐角)．解析∵M为BC中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)．∴AM→·AD→＝12(AB→＋AC→)·AD→＝12AB→·AD→＋12AC→·AD→＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．答案直角三角形6．(2014·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析设M(0，y,0)，则MA→＝(1，－y,2)，MB→＝(1，－3－y,1)，由题意知|MA→|＝|MB→|，∴12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．答案(0，－1,0)7．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则a＝________，b＝________.解析AB→＝(1，－1,3)，AC→＝(a－1，－2，b＋4)，因为三点共线，所以存在实数λ使AC→＝λAB→，即a－1＝λ，－2＝－λ，b＋4＝3λ，解得a＝3，b＝2.3答案328.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为________．解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|，OA→·BC→＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，∴cos〈OA→，BC→〉＝0.答案0二、解答题9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE→⊥b(O为原点)?解(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝02＋－52＋52＝52.(2)令AE→＝tAB→(t∈R)，所以OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋tAB→＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE→⊥b，则OE→·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝95.因此存在点E，使得OE→⊥b，此时E点的坐标为－65，－145，25.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，4(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.证明(1)CA1→＝CB→＋BA→＋AA1→＝CB→＋CD→＋CC1→，可以证明：CG→＝13(CB→＋CD→＋CC1→)＝13CA1→，∴CG→∥CA1→，即A1，G，C三点共线．(2)设CB→＝a，CD→＝b，CC1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵CA1→＝a＋b＋c，BC1→＝c－a，∴CA1→·BC1→＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1→⊥BC1→，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；5③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是________．答案22．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→的值为________．解析设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE→＝12(a＋b)，AF→＝12c，∴AE→·AF→＝12(a＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.答案14a23.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．解析设AB→＝a，AC→＝c，BD→＝d，由已知条件|a|＝4，|c|＝6，|d|＝8，〈a，c〉＝90°，〈a，d〉＝90°，〈c，d〉＝660°，|CD→|2＝|CA→＋AB→＋BD→|2＝|－c＋a＋d|2＝a2＋c2＋d2－2a·c＋2a·d－2c·d＝16＋36＋64－2×6×8×12＝68，则|CD→|＝217.答案217cm二、解答题4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EF→·DC→；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．解设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，DC→＝b－c，EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14，(2)EF→·DC→＝12(c－a)·(b－c)＝12(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－14；(3)EG→＝EB→＋BC→＋CG→＝12a＋b－a＋12c－12b7＝－12a＋12b＋12c，|EG→|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|EG→|＝22.(4)AG→＝12b＋12c，CE→＝CA→＋AE→＝－b＋12a，cos〈AG→，CE→〉＝AG→·CE→|AG→||CE→|＝－23，由于异面直线所成角的范围是0，π2，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.