机械优化设计课后习题答案

....第一章习题答案1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=二级检验员一级检验员21xx；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X)=8*4*x1+8*3*x2+2（8*25*0.02x1+8*15*0.05x2）=40x1+36x2（3）本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=40x1+36x2X∈R3·s.t.g1(X)=1800-8*25x1+8*15x2≤0g2(X)=x1-8≤0g3(X)=x2-10≤0g4(X)=-x1≤0g5(X)=-x2≤01-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[]，许用最大变形量[]。欲选择一组设计变量TTnDdxxx][][2321X使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n，簧丝直径0.5d，弹簧中径21050D。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2nssFDFDDkkcdcdGd旋绕比），解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=nDdxxx2321；（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f(X)=322124xxrx（3）本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=322124xxrxX∈R3·....s.t.g1(X)=0.5-x1≤0g2(X)=10-x2≤0g3(X)=x2-50≤0g4(X)=3-x3≤0g5(X)=312218)21(xFxxx≤0g6(X)=413328GxxFx≤01-3某厂生产一个容积为8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=hrxx21高底面半径,表面积为目标函数，即：minf(X)=x12+2x1x2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：minf(X)=x12+2x1x2X=[x1,x2]T∈R2s.t.g1(X)=-x1≤0g2(X)=-x2≤0h1(X)=8000-x12x2=01-4要建造一个容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=高宽长321xxx；（2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X)=8(x1x3+x2x3)+6x1x2+12x1x2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500m3。即：1500-x1x2x3=02）仓库宽度为高度的两倍。即：x2-2x3=03）各变量取值应大于0，即：x10,x2.0.，则-x1≤0，-x2≤0....（4）本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=8(x1x3+x2x3)+18x1x2X∈R3·s.t.g1(X)=-x1≤0g2(X)=-x2≤0g3(X)=-x3≤0h1(X)=1500-x1x2x3=0h2(X)=x2-2x3=01-5绘出约束条件：82221xx；82221xx；421xx所确定的可行域1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：1[132]TX;2[234]TX;3[414]TX。第二章习题答案2-1请作示意图解释：(1)()()()kkkkXXS的几何意义。2-2已知两向量12[1220],[2021]TTPP,求该两向量之间的夹角。2-3求四维空间内两点)2,1,3,1(和)0,5,6,2(之间的距离。2-4计算二元函数321121()56fxxxxX在(0)[11]TX处，沿方向[12]TS的方向导数(0)'()sfX和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()fX。2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为2212121122123142min()(3)(4)[,]()50()2.50()0()0TfxxxxgxxgxxgxgxXXXXXX求：(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234fX、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。(2)找出图上的无约束最优解1X和对应的函数值1()fX，约束最优解2X和2()fX；(3)若加入一个等式约束条件：12()0hxxX....求此时的最优解3X，3()fX。解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X1*＝[3，4]T函数值f(X1*)=0。而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：01052121xxxx，解得X2*=[2，3]。函数值f(X2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：0052121xxxx，解得X3*=[5/2，5/2]。函数值f(X3*)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=2.5。2-6试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141xxxxxxfX具有极小值。证明：求驻点：2244)(121311xxxxxXf，221222)(xxxXf0)(0)(21xXfxXf，由，4)(]11[**xfxT，极值得：驻点2)(4)()(2412)(2221122212221212xXfxxxXfxxXfxxxXf，，24410)(XH海赛矩阵....0244100102221121111aaaaa，各阶主子式：H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数)(Xf具有极小值。2-7求函数221212()32210fxxxxX的极值点，并判断其极值的性质。解：26)(11xxXf，14)(22xxXf0)(0)(21xXfxXf，由，24/229)(]4/13/1[**xfxT，极值得：极值点4)(0)()(6)(222122212212xXfxxXfxxXfxXf，，4006)(XH海赛矩阵04006062221121111aaaaa，各阶主子式：H(X)是正定的，所以，)(Xf为凸函数。24/229)(]4/13/1[**xfT，极值得：极值点X2-8试判断函数2212121()221fxxxxxX的凸性。解：124)(211xxxXf，12222)(xxxXf2)(2)(2)(5)(222122212212xXfxxXfxxXfxXf，，，2225)(XH海赛矩阵02225052221121111aaaaa，各阶主子式：H(X)是正定的，所以，)(Xf为凸函数。....2-9试用向量及矩阵形式表示221212()10460fxxxxX并证明它在12{,,1,2}ixxxiD上是一个凸函数。解：211210)(xxxXf，12224)(xxxXf2)(1)(2)(222212212xXfxxXfxXf，，2112)(XH海赛矩阵02112022221121111aaaaa，各阶主子式：H(X)是正定的，所以，)(Xf为凸函数。2-10现已获得优化问题212221122221212223124152min()412..()250()1010340()(3)(1)0()0()0fxxstgxxgxxxxgxxgxgxXXXXXX的一个数值解[1.000,4.900]TX,试判定该解是否上述问题的最优解。第三章习题答案3-1函数983)(3xxfX，当初始点分别为00x及8.10x时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长1.00T。解：当00x时（1）取1.0,0,1.0210TAATT9)()()0(11XfAFFSAXX2)0(=0.1203.8)()(2)0(22SXAfAFF....比较21FF、，因21FF，所以应作前进搜索。⑵步长加倍：3.021,2.0222TAATT203.821FFSAXX2)0(=0.3681.6)()(2)0(22SXAfAFF再比较21FF、，因21FF，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1A点。所以：1.02.03.021TAA。(3)步长加倍：7.04.03.0,4.0222TAATT681.621FFSAXX2)0(=0.7429.4)()(2)0(22SXAfAFF.比较21FF、，因21FF，所以还应再向前搜索,3.04.07.021TAA。(4)步长加倍：5.1,8.0222TAATT429.421FFSAXX2)0(=1.5125.7)()(2)0(22SXAfAFF.比较21FF、，因21FF。已找到具有“高－低－高”特征的区间即：3.011A时，681.6)(1F7.022TA时，429.4)(2F5.123A时，125.7)(3F。所以，)()()(321FFF，单峰区间为：5.1,3.02311ABAA。当8.10x时同理可得：3.0,5.12311ABAA....3-2用黄金分割法求函数2)(2F在区间[35]中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。解：（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值667.7)(;944.1)(618.0115136.0)(;056.0)(618.0)2(2)2()1(1)1(ffabaffabb（2）比较函数值，缩短搜索区间因有f1≤f2，则115136.0)(;944.1)2(2)2(ffb98759.0)(;11139.1)(618.0)1(1)1(ffabb（3）判断迭代终止条件b－a＞ε不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。表黄金分割法的搜索过程区间缩短次数abα(1)α(2)f1f2(原区间)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.832