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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 咨询培训 > 第二章-方差分析方法(第二节)
第二节正交试验方差分析法极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点,可采用方差分析的方法。一.正交试验方差分析法基本含义与必要性•1.方差分析法的基本含义所谓方差分析,就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解,然后进行统计检验的一种数学方法。方差分析法是将因素水平(或交互作用)的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。二.单因素方差分析法(以例2-1为例)•1.方差分析法的基本思路:•(1)由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变差平方和,并赋予它们的数量表示;•(2)用组间变差平方和与组内变差平方和在一定意义下进行比较,如两者相差不大,说明因素水平的变化对指标影响不大;如两者相差较大,组间变差平方和比组内变差平方和大得多,说明因素水平的变化影响很大,不可忽视;•(3)选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。_2T11222____22111222S()(221)(9089.6)(9289.6)..(1)(2....(8889.6)353.6()()(222)3(9089.6)(9489.6)......(8489.6))30prijijppriiAijixxSxxrxx总总变差平方和组1.变差平方和的分解和S间变差平方3.62.具体分析方法第一步:变差平方和的分解_2112222222222()(223)(60)(65)(70)(75)(80)(60)(9090)(9290)(8890)8(65)(9794)(9394)(9294)14(70)(9695)(9695)(9395)6(75)(8(8534))preijiijeeeeeeeeeSxxSSSSSSSSS组内变差和式中:平方22222(8684)(8284)14(80)(8484)(8684)(8284)8(60)(65)(70)(75)(80)50eeeeeeeTAeSSSSSSSSSS我们发现有:__21_211ppp1prrp(1rpprp()r))(piAipreijiijSrxxSxx个成分都是对总平均值的差,而全部差相加为领,所以个成分的约束的个数为1,独立成分的个数为(-)。个成分的平方2.自由度和。由于个成分之和为零,所以独立成分是-=(-1)个。则误差平方和自由度是((2)-1)。第二步:自由度计算_2T11prprSpr11(1)()AeAeTApreAijiijefffffffSSSxxfprfpfprTTT个成分的平方和。由于所有这些成分之和为零,独立成分是-1。所以总平方和的自由度是-1。用符号表示自由度,、、分别表示、、的自由度(3)Ae22A2eA1(1)()()AAAeeSpSprErE_____平方和除以自由度称为均方。记为S则:间均方S误3.平均平方(均方)与均方期望差均方S它们期SS值的望值为第三步:平均平方(均方)与均方期望值计算__//AAAeeSfSfSe4.显著性检验(F检验)F=SFFFF临临显著不显著AaAaFFaaAFFaAa例如当时,若=0.05,就有(1-)100%即95%的把握说因素是显著的。若,则在水平下不能认为因素是显著的。通常是当试验精度很差时,可取得比较大。AAAFFFF表的用法:表上方横行的数字对应的分子的自由度,表左侧竖列的数字对于分母的自由度。横行与竖列的交叉点上的数字,就是的临界值。第四步:显著性检验(F检验)__AaAa0.050.05F/2aFF()3F,A**,A*,A,AAeAeAeAAAASSffffFFFFFF0.010.010.10.10.2检验的步骤:(1)计算F=()根据自由度、及制定的显著性水平查表,得、()比较F与,作出判断通常:(1)对F因素高度显著,记为(2)对F因素显著,记为(3)F因素有影响,记为(4)FF因素有一定影响,记为△⊙aAA/303.6/4115.18/50.0/102FP377)a0.05a(4,10)3.5(4,10)6.0FFF,AAAeSffFFFFe0.050.01A0.050.01以例2-1为例,检验其中因素的显著性()计算F=S()查表(,对=及=0.01分别有(3)比较与,因素高度显著。方差来源变差平方和自由度平方差平方和F临FA显著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0总和方差分析表22111112221111111()11()aSbqpqpqijijijjijijppqpqAiijijiijijTAAeAxxPKxpqpqQKxWxqqSWPSQPSWQi令KK=则有:当数据比较特殊时,还可以进行如下简化(1)每个数据加(减)同一个数,平方和不变。(2)每个数据乘(除)同一个数,相与的平方和增大5.小结(缩小)b2倍。p个水平,每水平q个试验号第五步:小结三.正交试验的方差分析A温度(℃)1B时间(Min)2C用碱量(x%)34转化率(x%)11(80℃)1(90Min)1(5%)13121(80℃)2(120Min)2(6%)25431(80℃)3(150Min)3(7%)33842(85℃)1(90Min)2(6%)35352(85℃)2(120Min)3(7%)14962(85℃)3(150Min)1(5%)24273(90℃)1(90Min)3(7%)25783(90℃)2(120Min)1(5%)36293(90℃)3(150Min)2(6%)164列号试验号1.无交互作用情况(以例1-1为例)(1)方差分析理论依据____22111()()ppriiAijiSxxrxx___2221233[()()()]AAAASkxkxkx单因素:p个水平,每水平重复r次试验每水平重复试验数×水平均值与一般平均之差9__22T111S()()prijiijjxxxx292292132221111321321......119111()()31()31()3iippqAAiijiiijiBBiiCCiixxxPKKnWxQKxKqqQKQK1总体公式:K=AABBCCTeTABCSQPSQPSQPSWPSSSSSp个水平,每水平q个试验号A温度(℃)1B时间(Min)2C用碱量(x%)34转化率(x%)11(80℃)1(90Min)1(5%)13121(80℃)2(120Min)2(6%)25431(80℃)3(150Min)3(7%)33842(85℃)1(90Min)2(6%)35352(85℃)2(120Min)3(7%)14962(85℃)3(150Min)1(5%)24273(90℃)1(90Min)3(7%)25783(90℃)2(120Min)1(5%)36293(90℃)3(150Min)2(6%)164K1123141135144K2144165171153K3183144144153Qi23118226142273422518Si61811423418列号试验号9124501450922500iiKxP(2)无交互作用试验结果计算表方差来源变差平方和自由度平方差平方和F临FA显著性ASA=618230934.3319*eSe=18294总和9848BSB=1142576.3399△CSC=234211713.009⊙方差分析表4列平方和刚好等于总平方和:S总=SA+SB+SC+Se(3)无交互作用方差分析表(4)正交表方差分析的特点(a)总平方和等于个列的平方和在上例中,第4列没有安排因素,如果我们按每个因素的平方和计算第4列的K值eSPQSQKKK18225002251822518)153153144(31153,153,144442224)4(3)4(2)4(1即正好等于Se。所以L9(34)的第4列平方和加在一起正好等于总平方和即S总=SA+SB+SC+S4(2-49)S4=Se特别提示:•方差分析的优点在于能使总平方和分解成因素与误差平方和,而正交表将这种分解已固定到每一列上,某一列在安排试验时没赋予它什么内容,该列的平方和就反映试验误差。•因此,Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算,而可以通过没有安排因素的列直接计算。(2)计算规格化在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样,而且每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误差,相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便于计算,又便于编制计算机程序。由于上面两个性质,方差分析的基本计算可以化到每一列上。计算公式•设某一列有p个水平,每个水平有q次试验。K1,K2,⋯,Kp代表p个水平的q个数据之和,则。(3)特点三:便于分析因素的主次•判断标准:极差大的是重要因素;极差小的是次要因素。•在方差分析表中,判断因素影响的主次,是根据其均方的大小,均方大的是主要因素;均方小的是次要因素。•同时方差分析还能指出试验误差的大小。•所以方差分析法更优于极差分析法。2.有交互作用的正交试验的方差分析•(1)原则•当任意两因素之间(如A与B)存在交互作用而且显著时,则不论因素A、B本身的影响是否显著,A和B的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。•例2-2某分析试验,起测定值受A、B、C三种因素的影响,每因素去两个水平,由于因素间存在交互作用,在设计试验方案时,可选用L8(27)表,试验安排结果如表(试验指标要求越小越好)因素试验号12345678K1K2QiSiA1B1A×B3C4B×C6误差7试验指标(经简化后)A×C511112222-506.253.111221122+10-1581.2578.1112222110-56.253.112121212-4035706.25703.11212212120-25256.25253.112211221-506.253.1122121125-1031.2528.105-100-1520-1510251(5)83.125KP(2)正交试验结果计算表1221222128221114816.253.1253.1254811071.8758iiiAACBCeTAACBCeiiSKKKKSKSSSSSSSSSSSSSSxKBABCBABC计算方法如下:同理可得、、、、、可以证明++++该式可以用来检验各列平方和的计算是否有错方差来源平方和自由度均方FFA显著性方差分析表BCA×CAA×BB×C误差总和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=7.1F0.01(1,4)=21.23.1253.1253.12528.1259.3751111eS重新计算均方:__78.125/9.375AeSS*****(3)方差分析(4)结果分析•结果表明:C、A×C、B对试验结果影响最大,B可取B2,而A和C见存在显著的交互作用,可通过二元表和二元图来确定其最优水平。ACA1A2C1-10-20C2530由图可知,A2C1最好,故最佳试验条件为A2B2C1,这正好是第7号试验。事实上,从试验结果看,它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1A2指标AC1C2说明:对二水平因素,平方和的计算有一个简单的公式。设计算方法对任何二水平的因素都是适用的,若
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