八年级数学上册13.1.2--线段的垂直平分线的性质

MNABCA′C′B′如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A',B',C'的对称点，线段AA'、BB'、CC'与MN有什么关系？P点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿直线MN折叠后，点Ａ与Ａ′重合，于是有：ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝∠ＭＰＡ′＝９0°对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。MNQpGABCA′C′B′P..Q定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。图中的两个三角形关于直线MN对称QpGMNABCA'C′B′几何语言：∵MN是AA′的垂直平分线∴AP=PA′,∠MPA=∠MPA′=90°轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。即对称点的连线被对称轴垂直平分。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。CA'ABB'C'll垂直平分AA'l垂直平分BB'l垂直平分CC'ABlP1P2P3P4如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2,P3P4,…是l上的点，分别量出点P1，P2,P3P4，…到A与B的距离，你有什么发现？发现：AP1=BP1;AP2=BP2;AP3=BP3;AP4=BP4.结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABCPl直线l⊥AB，垂足是C，AC=CB,点P在l上，求证PA=PB.证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°又∵AC=CB，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．线段平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的性质：ＰＡlＣＢ几何语言：∵l⊥ＡＢ∴ＰＡ＝ＰＢ8课堂练习练习1如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______．ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．课堂练习练习2如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的垂直平分线上呢？若AP=BP，则P在线段AB的垂直平分线上。结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的判定：ＰＡlＣＢ几何语言：∵PA＝PB∴l是AB的垂直平分线这些点能组成什么几何图形？探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．PABC1、∵，∴AB＝AC。理由：2、∵，∴A在线段BC的中垂线上理由：AD是BC的中垂线AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。BCAD3、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线ABMND①②③3、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个C4如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。DCBEA解：∵ED是线段AB的垂直平分线∴∵C△BCD=BD+DC+BC∴C△BCD===BD=ADAD+DC+BCAC+BC12+7=19解：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线．∵MB=MC，∵点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．课堂练习练习3如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM例1：如图，点A与点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴.而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可.作法：1.分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；2.作直线CD.CD∴直线CD即为所求例2：如图是一颗五角星，你能作出它的所有对称轴吗？作法：1.找出它的一对对称点（例如A和A’）；2.作线段AA’的垂直平分线l.AA’l用类似的的方法，就可以作出其他四条对称轴.你也试一试！练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？练习2：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴.练习4：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线且AD＝BD，AC＝10.求AB的长度.提示：过点D作DE⊥AB于EABCDE（1）说一说本节课我们学习了哪些内容？你有什么收获？课堂小结1.垂直平分线的定义：∵MN是AB的垂直平分线∴，；2.垂直平分线的性质：∵MN是AB的垂直平分线∴（）3.垂直平分线的判定：∵PA＝PB∴（）MN⊥ABPABMNDAD＝BDPA＝PB线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等P在AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上