渐近跟踪与干扰抑制

8.6渐近跟踪与干扰抑制问题8.6.1渐近跟踪与干扰抑制问题右图所示反馈控制系统)()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很难做到在所有时间上都有，但，就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)]()([lim)(limtytrtett稳态时，实现了y(t)跟踪r(t)，称为渐近跟踪。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)+w(t)随机性扰动：具有随机的形式，只知道一些统计性质，如均值，方差。(随机控制研究的内容)外部扰动信号确定性扰动：有确定的函数形式，如阶跃函数、斜坡函数、正余弦函数等。可通过分析或辨识等手段来获得其函数形式（结构特性）。阵风对雷达天线的扰动。轨道对行驶中的列车的纵摇或横摇等扰动。系统为线性，且同时作用有参考信号r(t)和扰动信号w(t)。则：当w(t)=0，对任意的r(t)有：)(lim)(limtrtytt当r(t)=0，对任意的w(t)，相应的输出yw(t)满足：0)(limtywt（2）式称为渐近跟踪，（3）式称为扰动抑制。当系统实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑制，即对任意的r(t)和w(t)，（1）式成立。如果参考信号r(t)和扰动w(t)，当t∞时均趋于0，则只要寻找控制u使系统为渐近稳定，(1)式就自动地成立，即无静差跟踪可自动的达到。所以这种情况没有研究的必要。（3）（2）以后讨论中规定：0)(lim,0)(limtwtrtt实际情况大多如此。如阶跃信号，斜坡信号，正余弦信号等。关于参考信号和扰动的模型：设r(t)和w(t)，当t∞时均不趋于0，如果对它们的属性没有任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问题和扰动抑制问题。为了研究跟踪问题，需要对r(t)和w(t)的某些结构性质有所了解，并建立起相应的信号模型。标量情况：若信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为β/s。若信号为未知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为：2201ss一般情况下，可将标量的r(t)和w(t)的拉氏变换分别表示为：)()()(,)()()(sdsnswsdsnsrwwrr由于信号的函数结构为已知，多项式dr(s)和dw(s)是已知的，又由于信号的非结构特性为未知，多项式nr(s)和nw(s)为未知和任意。对nr(s)和nw(s)的唯一限制是应保证均为严格真的有理分式函数。)(),(swsr在时间域内，上述关系等价于把r(t)和w(t)分别看成为是由信号模型：rrrrrxctrxAx)(相对于各自的未知初始条件xr(0)和xw(0)所产生的。)(和向量信号的情况：参考信号r(t)和扰动信号w(t)可分别看成为是在未知的初始状态下，由其模型：rrrrrxctrxAx)(所产生。)(和在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。稳态误差0型Ⅰ型Ⅱ型输入信号)(1ttt221KV11Ka11Kp11∞∞∞0001/Kv1/Ka但是，对于r(t)不是典型输入信号的情况，则y(t)跟踪r(t)的条件是什么？输入和误差信号的拉氏变换式分别为,)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg显然，输入信号的分母dr(s)=0中那些实部为负的根，当时对稳态误差无影响；只有那些位于s右半闭平面（包括虚轴的右半平面）的根，对稳态误差有影响。tgc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)要使0)(limteetss必须有1）的所有根实部均为负。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2）在s右半闭平面的零点也是的零点。)()(sdsdCg上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即时有。其中，第2个条件就是著名的内模原理。t)()(trty)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg8.6.2内模原理假定输入信号R(s)的分母多项式dr(s)的某些根具有零实部或正实部，令φr(s)是R(s)中不稳定的极点构成的多项式。将内模1/φr(s)放入系统中，则)()()()()()()()()()()()()(sdsnsnsnssdsdssdsdsYsRsErrgcrgcrgc由于dr(s)中的不稳定的零点均被φr(s)精确地消去，所以，只要选择dc(s)、nc(s)使dc(s)φr(s)dg(s)+nc(s)ng(s)=0的根具有负实部。即用gc(s)镇定系统，则时，，实现了渐近跟踪。这就是内模原理.t0)()()(tytrtegc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)1/φr(s)8.6.3干扰抑制问题如果系统存在确定性干扰，如右图所示。当时，，使，称为干扰抑制问题。0)(trt0)(tyw如果w(s)=nw(s)/dw(s)为正则有理函数，假定dw(s)=0的某些根具有零实部或正实部。令φw(s)是w(s)的不稳定极点构成的s多项式。于是φw(s)的所有根均具有零实部或正实部。那么只要将内模1/φw(s)放入系统中，再选择gc(s)使反馈系统成为渐近稳定的系统，即可实现干扰抑制。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+1/φw(s)这是因为由作用引起的系统输出为：)(tw)()()()()()()()()()()(sdsnsnsnssdsdssnsdsYwwgCwgCwgCw0)(tyw由于dw(s)中的不稳定的零点均被φw(s)精确地消去，所以，只要选择dc(s)、nc(s)使dc(s)φw(s)dg(s)+nc(s)ng(s)=0的根具有负实部。即用gc(s)镇定系统，则时，。从而实现了干扰抑制。t8.6.4渐近跟踪与干扰抑制如果r(t)≠0，w(t)≠0，若φ(s)是R(s)和w(s)的不稳定极点因式之最小公分母，通过在系统中引入内模1/φ(s)，然后设计补偿器gc(s)，就可以实现渐近跟踪和干扰抑制。2）内模1/φ(s)的系数不允许变化，否则无法实现精确对消。虽然现实中，很难极其精确地对消，但由于r(t)和w(t)大多数是有界的，输出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。3点说明：1）内模1/φ(s)的位置要求并不高，只要不位于从R(s)到E(s)和从w(s)到Y(s)的前向通道中即可。gc(s)y(t)-g(s)r(t)e(t)w(t)+1/φ(s)3)内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。当除了内模以外的受控系统和补偿器的参数出现摄动时，只要闭环控制系统仍为渐近稳定，则必仍具有无静差跟踪的属性。在这个意义上，控制系统具有鲁棒性，所设计的控制器称为渐近跟踪鲁棒调节器。8.6.5状态空间设计法系统方程为FwDuCxyEwBuAxx（4）x:n×1,y:q×1,{A,B}为能控，{A,C}为能观测。（5）为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生：)(t)(（6）认为是在未知初始条件下，由以下系统产生：)(trrrtrxC)(rrrxAx和为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与干扰抑制。wwCArrCA设)det()(wwssAI)det()(rrssAI)(sr)(sw和在s右半闭平面零点因式的最小公倍式为)(s0111)(asasassmmm（7）y(t)-受控系统r(t)e(t)w(t)x镇定补偿器前面基于内模原理的控制系统结构可以画为上图所示形式，内模相当于图中的伺服补偿器，用来抵消外部信号的不稳定极点，保证实现扰动抑制和渐近跟踪，而镇定补偿器的作用是使受控系统和伺服补偿器串联在一起的广义受控对象得到镇定。伺服补偿器iiiiieΓ110100001000010maaaΓ其中为第i个子系统的m维子状态向量，ei为e的第i分量，为子系统输出，要求选择使得式（8）的传递函数为1/φ（s）(可选择能控规范型实现)：对于q维误差向量e，伺服补偿器由q个相互独立的子系统组成，第i个子系统的状态空间描述为：100ii,,Γ]0,,0,1[（8）即伺服补偿器的第i个子系统的输入为误差向量e的第i分量ei，输出为系统状态向量的第1分量，利用分块对角形式，将式（8）所示的各子系统的模型集合起来，可以得到整个伺服补偿器的状态空间描述为：i1icccCeBAqmqcqqmcqmqmcqqqqCBAeee,,,,,111111ΓΓ（9）因为各子系统都是取能控规范型实现，各子系统显然能控，故整个伺服补偿器也完全能控。显然伺服补偿器就是参考输入和扰动中不稳定部分的q重模型，即内模。将受控对象式（4）和伺服补偿器式（7）串联在一起，构成广义受控对象状态空间模型：wFuDxICyrBwFBEuDBBxACBAxccccc000000设计镇定补偿器的目的是使得由式（10）描述的广义受控对象稳定，可以用各种方法构造镇定补偿器，如采用状态反馈和动态输出反馈等。本节采用状态反馈：（10）y(t)-Kcw(t)eBAccEwBuAxxKe_uxCDFr_++xKKuc在此状态反馈下，组合系统的结构图如下图所示。为了实现极点配置，广义受控系统式（10）必须为完全可控，根据能控性的PBH判据，也就是要求对任意复数s，成立：qmnDBAsICBBAsIranksrankVccc0)(由于系统式（4）能控，即对任意复数s均有：nBAsIrank并且对所有不是Ac的特征根，即不是φ（s）的根的s成立：qmAsIrankc这表明对所有不是φ（s）的根的s成立：qmnsrankV)(（11）（12）（13）（14）式(14)的导出利用了分块矩阵的秩的一些性质：QPrank00rankQrankP=QSPrank0rankQrankP≥0000)(000)(qmccnIDCBAsIAsIBIsV因为系统式（9）完全能控，显然对任意复数s均有：qmnAsIBIrankccn)(000另外：qmDCBAsIrankIDCBAsIrankqm0000如果对φ（s）的所有根，成立：qnDCBAsIrank（15）（16）（17）（18）DBAsICBBAsIsVccc0)(根据Sylvester不等式：rankR+rankT-p≤rank(RT)≤min{rankR,rankT}其中R为l×p阵，T为p×k阵。因此对φ（s）的所有根：n+qm≤rankV(s)≤n+qm也就是说，根据式（19）在式（18）成立的前提下，对所有复数s成立：rankV(s)=n+qm即广义受控对象式(10)为完全能控。（19）（20）（21）定理1：受控系统（4）可按上图所示的控制方式实现渐近跟踪和扰动抑制的充分必要条件为：(1)：受控对象（4）完全能控能观。(2):dim(u)≥dim(y)(2):对φ(s