2019-2020学年河南省新乡市九年级(上)期末数学试卷

第1页，共16页2019-2020学年河南省新乡市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列事件中，是必然事件的是()A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数B.13个人中至少有两个人生肖相同C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯D.明天一定会下雨2.在反比例函数𝑦=𝑘−1𝑥的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是()A.𝑘1B.𝑘0C.𝑘≥1D.𝑘13.如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为()A.2：1B.3：1C.4：3D.3：24.如图，点A、B、C在⊙𝑂上，∠𝐴=50°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为()A.130°B.50°C.65°D.100°5.二次函数𝑦=3(𝑥−2)2−5与y轴交点坐标为()A.(0,2)B.(0,−5)C.(0,7)D.(0,3)6.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2,4)，过点A作𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵.将△𝐴𝑂𝐵以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△𝐶𝑂𝐷，则CD的长度是()A.2B.1C.4D.2√57.已知圆内接正三角形的面积为3√3，则边心距是()A.2B.1C.√3D.√32第2页，共16页8.若点𝐴(𝑥1,−6)，𝐵(𝑥2,−2)，𝐶(𝑥3,2)在反比例函数𝑦=𝑚2+1𝑥(𝑚为常数)的图象上，则𝑥1，𝑥2，𝑥3的大小关系是()A.𝑥1𝑥2𝑥3B.𝑥2𝑥1𝑥3C.𝑥2𝑥3𝑥1D.𝑥3𝑥2𝑥19.如图，D是等边△𝐴𝐵𝐶边AB上的一点，且AD：𝐷𝐵=1：2，现将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：𝐶𝐹=()A.34B.45C.56D.6710.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是()A.6B.2√13+1C.9D.323二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.在比例尺为1：1000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.6𝑐𝑚，则甲、乙两地的实际距离为______千米．12.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．13.一个等边三角形边长的数值是方程𝑥2−3𝑥−10=0的根，那么这个三角形的周长为______．14.如图所示，半圆O的直径𝐴𝐵=4，以点B为圆心，2√3为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是______．15.如图，在正方形ABCD中，𝐴𝐷=1，将△𝐴𝐵𝐷绕点B顺时针旋转45°得到△𝐴′𝐵𝐷′，此时𝐴′𝐷′与CD交于点E，则DE的长度为______．第3页，共16页三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.已知关于x的一元二次方程𝑥2+𝑥+𝑚−1=0．(𝐼)当𝑚=0时，求方程的实数根．(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．17.已知正比例函数𝑦=𝑥的图象与反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘为常数，且𝑘≠0)的图象有一个交点的纵坐标是2．(Ⅰ)当𝑥=4时，求反比例函数𝑦=𝑘𝑥的值；(Ⅱ)当−2𝑥−1时，求反比例函数𝑦=𝑘𝑥的取值范围．18.有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张．(Ⅰ)请你用画树状图法(或列表法)列出两次抽取卡片出现的所有可能结果；(Ⅱ)求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．19.如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且𝐵𝐷=𝐶𝐸，AD与BE相交于点F，(1)证明：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸；第4页，共16页(2)证明：△𝐴𝐵𝐸∽△𝐹𝐴𝐸；(3)若𝐴𝐹=7，𝐷𝐹=1，求BD的长．20.如图，AB是⊙𝑂的直径，CD切⊙𝑂于点C，AD交⊙𝑂于点E，AC平分∠𝐵𝐴𝐷，连接BE．(Ⅰ)求证：𝐴𝐷⊥𝐸𝐷；(Ⅱ)若𝐶𝐷=4，𝐴𝐸=2，求⊙𝑂的半径．21.已知：如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=3𝑥的图象有两个交点𝐴(1,𝑚)和B，过点A作𝐴𝐷⊥𝑥轴，垂足为点D；过点B作𝐵𝐶⊥𝑦轴，垂足为点C，且𝐵𝐶=2，连接CD．(1)求m，k，b的值；(2)求四边形ABCD的面积．第5页，共16页22.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶．(𝐼)如图，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：(1)△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；(2)𝐵𝐶=𝐷𝐶+𝐸𝐶．(Ⅱ)如图，D为△𝐴𝐵𝐶外一点，且∠𝐴𝐷𝐶=45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED．(1)△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸的结论是否仍然成立？并请你说明理由；(2)若𝐵𝐷=9，𝐶𝐷=3，求AD的长．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为𝐴(1,1)，且与直线𝑦=𝑥−2相交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)求B、C两点的坐标；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作𝑀𝑁⊥𝑥轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第6页，共16页答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B．必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】A【解析】解：根据题意，在反比例函数𝑦=𝑘−1𝑥图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得𝑘−10，解得𝑘1．故选：A．根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得𝑘−10，解可得k的取值范围．本题考查了反比例函数的性质：①当𝑘0时，图象分别位于第一、三象限；当𝑘0时，图象分别位于第二、四象限．②当𝑘0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当𝑘0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．3.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边之比即是相似比解答．【解答】解：∵以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，∴𝐴𝐶𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐷𝐹=84=126=21，故选A．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理的运用．根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠𝐴=50°，∴∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐴=100°．故选D．5.【答案】C第7页，共16页【解析】解：∵𝑦=3(𝑥−2)2−5∴当𝑥=0时，𝑦=7，即二次函数𝑦=3(𝑥−2)2−5与y轴交点坐标为(0,7)，故选：C．根据题目中的函数解析式，令𝑥=0，求出相应的y的值，即可解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y轴交点的横坐标等于0．6.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．【解答】解：∵点𝐴(2,4)，过点A作𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵.将△𝐴𝑂𝐵以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△𝐶𝑂𝐷，∴𝐶(1,2)，则CD的长度是：2．故选：A．7.【答案】B【解析】解：设正三角形的边心距为x，则其半径为2x，边长为2√3𝑥，因为圆内接正三角形的面积为3√3，所以12×2√3𝑥(𝑥+2𝑥)=3√3，解得：𝑥=1所以该圆的内接正三角形的边心距为1，故选：B．根据题意可以求得半径，进而解答即可．本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．8.【答案】B【解析】解：∵反比例函数𝑦=𝑚2+1𝑥(𝑚为常数)，𝑚2+10，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点𝐴(𝑥1,−6)，𝐵(𝑥2,−2)，𝐶(𝑥3,2)在反比例函数𝑦=𝑚2+1𝑥(𝑚为常数)的图象上，−6−202，∴𝑥2𝑥1𝑥3，故选：B．根据反比例函数的性质，可以判断出𝑥1，𝑥2，𝑥3的大小关系，本题得以解决．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：设𝐴𝐷=𝑘，则𝐷𝐵=2𝑘，∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=3𝑘，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐸𝐷𝐹=60°，∴∠𝐸𝐷𝐴+∠𝐹𝐷𝐵=120°，第8页，共16页又∵∠𝐸𝐷𝐴+∠𝐴𝐸𝐷=120°，∴∠𝐹𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐷，∴△𝐴𝐸𝐷∽△𝐵𝐷𝐹，∴𝐸𝐷𝐹𝐷=𝐴𝐷𝐵𝐹=𝐴𝐸𝐵𝐷，设𝐶𝐸=𝑥，则𝐸𝐷=𝑥，𝐴𝐸=3𝑘−𝑥，设𝐶𝐹=𝑦，则𝐷𝐹=𝑦，𝐹𝐵=3𝑘−𝑦，∴𝑥𝑦=𝑘3𝑘−𝑦=3𝑘−𝑥2𝑘，∴{𝑘𝑦=𝑥(3𝑘−𝑦)2𝑘𝑥=𝑦(3𝑘−𝑥)，∴𝑥𝑦=45，∴𝐶𝐸：𝐶𝐹=4：5．故选：B．解法二：解：设𝐴𝐷=𝑘，则𝐷𝐵=2𝑘，∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=3𝑘，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐸𝐷𝐹=60°，∴∠𝐸𝐷𝐴+∠𝐹𝐷𝐵=120°，又∵∠𝐸𝐷𝐴+∠𝐴𝐸𝐷=120°，∴∠𝐹𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐷，∴△𝐴𝐸𝐷∽△𝐵𝐷𝐹，由折叠，得𝐶𝐸=𝐷𝐸，𝐶𝐹=𝐷𝐹∴△𝐴𝐸𝐷的周长为4k，△𝐵𝐷𝐹的周长为5k，∴△𝐴𝐸𝐷与△𝐵𝐷𝐹的相似比为4：5∴𝐶𝐸：𝐶𝐹=𝐷𝐸：𝐷𝐹=4：5．故选：B．借助翻折变换的性质得到𝐷𝐸=𝐶𝐸；设𝐴𝐵=3𝑘，𝐶𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=3𝑘−𝑥；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质(用含有k的代数式表示)；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．如图，设⊙𝑂与AC相切于点E，连接OE，作𝑂𝑃1⊥𝐵𝐶垂足为𝑃1交⊙𝑂于𝑄1，此时垂线段𝑂𝑃1最短，𝑃1𝑄1最小值为𝑂𝑃1−𝑂𝑄1，求出𝑂𝑃1，如图当𝑄2在AB边上时，P2与B重合时，𝑃2𝑄2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙𝑂与AC相切于点E，连接OE，作𝑂𝑃1⊥𝐵𝐶垂足为𝑃1交⊙𝑂于𝑄1，此时垂线段𝑂𝑃1最短，𝑃1𝑄1最小值为𝑂𝑃1−𝑂𝑄1，第9页，共16页∵𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6，∴𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶