对数函数及其性质的应用

上一页返回首页下一页阶段一阶段二学业分层测评第2课时对数函数及其性质的应用上一页返回首页下一页1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征．(难点)3．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)上一页返回首页下一页[小组合作型]对数值的大小比较(1)已知a＝log0.70.9，b＝log1.10.7，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b上一页返回首页下一页(2)下列不等式成立的是(其中a＞0且a≠1)()A．loga5.1＜loga5.9B．log122.1log122.2C．log1.1(a＋1)log1.1aD．log32.9＜log0.52.2(3)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．bacB．abcC．cbaD．bca上一页返回首页下一页【精彩点拨】底数相同的对数式，可应用对数函数的单调性比较大小；底数不同的对数式可化为同底数再比较大小，或利用与0或1的大小关系比较大小．【自主解答】(1)根据对数函数y＝log0.7x，y＝log1.1x的图象和性质，可知0＜log0.70.9＜1，log1.10.7＜0，由指数函数y＝1.1x的图象和性质，可知c＝1.10.9＞1，∴b＜a＜c，故选C.上一页返回首页下一页(2)对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以12为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9＞0，log0.52.2＜0，故不成立，故选B.(3)因为函数y＝log4x是增函数，a＝log23＝log49log461，log321，所以bca，故选D.【答案】(1)C(2)B(3)D上一页返回首页下一页对数值比较大小的常用方法：（1）比较大小的对数式底数是同一常数，真数不同，可根据对数函数的单调性直接进行判断．（2）对于底数不同，真数相同的两对数大小的比较，可以用图象法，还可以利用换底公式转化为分子为1，分母上为底数相同，真数不同的形式，再利用函数单调性比较两个分母的大小，来完成两对数大小的比较．（3）若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助中间量间接的比较两对数的大小，常用的中间量有0，1，-1等.上一页返回首页下一页[再练一题]1.设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则()A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a【解析】∵1＜e＜3＜10，∴0＜lge＜12，∴lge＞12lge＞(lge)2.∴a＞c＞b，故选C.【答案】C上一页返回首页下一页2．设a＝logπ3，b＝20.3，c＝log213，则()A．bacB．acbC．cabD．abc【解析】因为a＝logπ3，b＝20.3，c＝log213，利用指数、对数函数的性质可得0logπ31,20.31，log2130，所以bac，故选A.【答案】A上一页返回首页下一页解对数不等式已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．【精彩点拨】(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案；(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由x－106－2x0，解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，①当a＞1时，不等式等价于1x3x－1≤6－2x，解得1x≤73；上一页返回首页下一页②当0＜a＜1时，不等式等价于1x3x－1≥6－2x，解得73≤x3.综上可得，当a＞1时，不等式的解集为1，73；当0＜a＜1，不等式的解集为73，3.上一页返回首页下一页常见的对数不等式有三种类型：（1）形如logax＞logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解；（3）形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.上一页返回首页下一页[再练一题]3．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)loga(7－5x)；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．【解】(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.上一页返回首页下一页(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)loga(7－5x)，∴等价为3x＋107－5x03x＋17－5x，即x－13x75x34，∴34x75，即不等式的解集为34，75.上一页返回首页下一页(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝1a2＝5，解得a＝55.上一页返回首页下一页[探究共研型]对数函数单调性的综合应用探究1对数函数y＝logax(a0，a≠1)的定义域是什么？其单调性如何？【提示】定义域为(0，＋∞)．当a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，当0a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．上一页返回首页下一页探究2函数f(x)＝log12(2x－1)的单调性如何？求出其单调区间．【提示】函数f(x)＝log12(2x－1)的定义域为12，＋∞，因为函数y＝log12x是减函数，函数y＝2x－1是增函数，所以f(x)＝log12(2x－1)是12，＋∞上的减函数，其单调递减区间是12，＋∞.上一页返回首页下一页(1)函数f(x)＝2x2－8ax＋3x1logaxx≥1在x∈R内单调递减，则a的范围是()A.0，12B.12，58C.12，1D.58，1(2)函数f(x)＝log12(x2＋2x＋3)的值域是________．【精彩点拨】(1)结合二次函数的性质及对数函数的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)若函数f(x)＝2x2－8ax＋3x1logaxx≥1在x∈R内单调递减，则2a≥10a12·12－8a＋3≥0，解得12≤a≤58，故选B.(2)f(x)＝log12(x2＋2x＋3)＝log12[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以log12[(x＋1)2＋2]≤log122＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．【答案】(1)B(2)(－∞，－1]上一页返回首页下一页1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解，若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．上一页返回首页下一页[再练一题]4.已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)上一页返回首页下一页【解析】∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，∴f(0)＞f(1)，即loga2＞loga(2－a)．∴a12－a0，∴1＜a＜2.【答案】B上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．abcC．bacD．acb【解析】∵a＝0.50.5b＝0.30.50，c＝log0.32log0.31＝0，∴abc.故选A.【答案】A上一页返回首页下一页2．函数y＝log12(2x＋1)的值域为________．【解析】∵2x＋11，函数y＝log12x是(0，＋∞)上的减函数，∴log12(2x＋1)log121＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．【答案】(－∞，0)上一页返回首页下一页3．若函数f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意得a0a×0＋10，解得a0.【答案】(0，＋∞)上一页返回首页下一页5．已知f(x)＝log2(x＋2)，g(x)＝log2(4－x)．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)求使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围.【解】(1)∵f(x)＝log2(x＋2)，g(x)＝log2(4－x)．∴x＋204－x0，解得－2＜x＜4，故函数f(x)－g(x)的定义域为(－2,4)．(2)∵f(x)－g(x)的值为正数，∴log2(x＋2)＞log2(4－x)，∴x＋24－x－2x4，解得1＜x＜4，∴使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围为(1,4)．