数学建模——创意折叠桌

1创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何2一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。根据建立的模型设计创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。二、问题分析本题研究的创意平板折叠桌问题，问题一至三，都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数，本着同样的思想，建立数学模型，全面的考虑各方面的影响因素，求出最优解。问题一是利用所给的已知条件，求解折叠桌在运动及设计方面的问题。首先使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度，再利用等效替代2的思想建立模型对折叠桌折叠的动态过程进行描述，最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。问题二是求最优设计加工参数的问题，在折叠桌制作过程中影响因素有很多个，选取用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，建立模型，利用Lingo软件求取某些参数的最优解，借助这些最优参数，得出全面的最优设计加工参数。问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立，首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型，观察建立的模型，找出其中的共同处，建立通解模型，在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据，求解，将得到的数据汇总，并用Matlab软件编程，绘制动态变化过程。3三、模型假设1、假设相邻木条间紧密相连，无缝隙，木条总宽度就是桌面的宽度；2、假设木板宽度等于圆桌面的直径；3、假设桌面与腿接口处的缝隙可以忽略不计；4、假设加工过程中的误差可以忽略不计；5、假设圆桌面的圆心与长方形模板的对角线的交点重合。四、符号说明ip从边缘最外侧数起第i条半弦长桌腿与竖直方向的夹角Q边缘最外侧桌腿的长度H桌子高度iq从边缘最外侧数起第i根木条的长度il从边缘最外侧数起第i根木条开槽的长度111iiizyx，，第i根木条与桌面的交点坐标222iiizyx，，第i根木条钢筋位置的坐标iiizyx，，第i根木条上桌脚边缘线的点的坐标边缘桌腿与地面的夹角b制作所需的平板的厚度d制作所需的平板的长度p最外侧边缘的半弦长k木条的宽度K木板的宽度4五、模型的建立与求解5.1实施过程1Step：定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，使用弦长公式1，计算出除最外两侧的其余弦的长度，将数据导入Matlab软件中使用cubic方式拟合4，得出最外侧的弦长，从而得出最外侧腿的长度；2Step：引用等效替代2的思想，建立数学模型，将折叠桌的动态变化转化为最外侧桌腿和竖直方向的角度的变化，编写程序；3Step：根据观察出的桌腿与木槽长度的关系，对木槽求解。对桌脚边缘线的描述，建立三维坐标系，引用空间直线方程3，求出边缘线上点的坐标，最后画出边缘线的图像。5.21Step的求解——计算弦长和桌腿长给定的长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，命圆桌面的弦长方向与木板长度方向平行，利用弦长公式1对除最外侧的18条弦长求长度，将求出的数据拟合，得出最外侧弦长的长度。为求弦的半弦长，建立以下的数学模型：)2/1(22i)))i11(*5.2(25(p10,,3,2ii21ipp19,,12,11iip：从边缘最外侧数起第i条半弦长20,,2,1i表1折叠桌圆桌面的18条半弦长iipiip210.891124.873151224.49417.851323.855201422.91621.651521.65722.911620823.851717.85924.4918151024.871910.895根据以上表1中的数据，因为呈对称性，所以随机选取右半边的数据导入Matlab中编程拟合【见附录一】，得出i=1、20时的弦长。图一Matlab软件对数据拟合由上图cubic方式拟合，得出最外侧木条的半弦长为6.18cm，因此可以得出折叠桌桌腿的长度Q为53.82cm。5.32Step的求解——建模求解创意平板折叠桌的折叠变化过程是很复杂的，由此引用等效替代2的方法将复杂的问题在不改变结果的情况下转化为简单明了的问题。将折叠椅的变化过程转化为桌腿与桌高的夹角变化情况。建立了以下的数学模型：180*82.53arccosH500H：桌腿与竖直方向的夹角Q：边缘最外侧桌腿的长度H：桌子高度因为平板尺寸的厚度为3cm,所以折叠桌的真实桌高为50cm。6根据上述的模型利用Matlab软件编写出程序【见附录二】，随意输入一个在范围内的桌高H都可以得到桌子再此高度时桌腿与竖直方向的夹角，根据角度的变化，反映出折叠桌在折叠过程中的变化情况。借用此模型求出在固定的位置桌腿与竖直方向的夹角为717.21。编写程序【见附录三】折叠桌折叠过程中的动态示意图：图二折叠桌变化过程5.43Step的求解——设计加工参数及桌角边缘线5.4.1设计加工参数根据对所给题目的观察与理解，已知连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，由此可以得出所开木槽长的限制范围。为了最后展现出桌脚边缘线的弧度，可以得出木槽长度由边缘到中间是逐渐递增的。折叠桌是对称的，因此只取左半边作为研究即可。为求木槽长度建立的数学模型是：ii60pq20,,2,1iiiqQl20,,2,1iip：从边缘最外侧数起第i条半弦长iq：从边缘最外侧数起第i根木条的长度il：从边缘最外侧数起第i根木条开槽的长度Q：边缘最外侧桌腿的长度7由以上的模型求解，将得到的解绘制成以下的表2：表2折叠桌各桌腿的长度及开凿木槽长度iipiqil1124.8735.1318.691224.4935.5018.351323.8536.1517.671422.9137.0916.731521.6538.3515.4716204013.821717.8542.1511.671815458.821910.8949.114.71206.1853.8205.4.2桌角边缘线的数学描述为了能客观且准确的描述出桌角边缘线，采用了三维坐标的描述方法，将桌面圆心作为坐标轴的原点，圆心地面的垂直方向向上作为三维空间坐标轴的z轴，原点与木条长度延伸方向作为三维空间坐标轴的x轴，原点与垂直弦的方向作为三维空间坐标轴的Y轴，由此建立的坐标系，引用的空间直线方程3，求出桌角边缘线上点的坐标。桌子撑开后，利用两点坐标求第三点未知坐标，通过第i根木条与桌面的交点),,x11i11iiizyM（20,,2,1i与第i根木条的钢筋的位置的坐标点),,(2222iiiizyxM20,,2,1i确定空间直线方程可以求出第i根木条上桌脚边缘线的点),,(iiiizyxM。空间直线方程：121121121iiiiiiiiiiiizzzzyyyyxxxx20,,2,1i111iiizyx，，：第i根木条与桌面的交点坐标222iiizyx，，：第i根木条钢筋位置的坐标iiizyx，，：第i根木条上桌脚边缘线的点的坐标8根据以上的方程，把桌角边缘线上所有点的坐标求出来绘制表格，见下表3：表3桌角线上点的坐标iixiyiz1115.182725-50129.533722.5-46.6138136.76620-43.4557145.360917.5-40.5832154.711315-38.1955164.46312.5-36.334174.441910-34.8537184.51337.5-33.7691194.59065-33.0802204.65852.5-32.690214.6585-2.5-32.690224.5906-5-33.080244.4419-10-34.853754.463-12.5-36.33464.7113-15-38.195575.3609-17.5-40.583286.766-20-43.455799.5337-22.5-46.61381015.1827-25-509将表3中的坐标点导入到Matlab软件中编写出程序【见附录四】，画出折叠桌折叠后的桌角边缘线的三维视图。图三折叠桌折叠后的桌角边缘线三维视图10六、最优设计加工参数6.1实施过程1Step：先对折叠桌桌脚与钢筋受力分析，观察桌脚到桌面的投影，确定稳定性最优点；2Step：将用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，建立最优化模型5，把建立的最优化模型使用Lingo软件编写程序求出最优解；3Step：根据求出的最优解、各参数之间的关系，确定所求折叠桌的最优设计加工参数。6.21Step的求解——稳定性通过对不同状态的折叠桌做受力分析可以得知，四个受力脚在桌平面的投影是圆内切矩形时四个角的承受力最强，即桌子腿的四脚在桌面的投影是圆的内切矩形稳定性最好。图四桌脚到桌面的投影及桌腿与地面夹角图：边缘桌腿与地面的夹角p:最外侧边缘的半弦长Q:边缘最外侧桌腿的长度由图四分析出折叠桌稳定性最高的形式，并对其分析为2Step的求解做前提的准备条件。116.32Step的求解——建立最优化模型6.3．1建立最优化模型，求解在造型美观的基础上，将用材量作为目标函数，根据1Step所做的前提，将其中的影响因素例如折叠桌的稳定性、加工是否方便作为约束条件，建立以下的数学模型：目标函数：db80mintan/)]70(tan*220[bpsin))tan*220()220(()2/1(22pQ)]70tan*220)(1(sinsincos))tan*220()220[((*2)(22)2/1(22bQpd约束条件：bQpQp70080：边缘桌腿与地面的夹角b:平板尺寸的厚度d:平板尺寸的长度p:最外侧边缘的半弦长Q:边缘最外侧桌腿的长度根据以上的模型使用Lingo软件，编写程序【见附录四】，求解出模型中未知量的最优解，结果如下：VariableValueReducedCostA1.2138760.000000B1.2503970.000000X2.2617670.000000RowSlackorSur