《抛物线的简单几何性质》课件

抛物线的简单几何性质(1)一、温故知新(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e＞1时，是双曲线.当0e1时，是椭圆；(定点F不在定直线l上)当e=1时，是抛物线.(二)抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFP方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0,(2pF)0,(2pF),0(2pF),0(2pF2px2px2yp2pyx轴x轴y轴y轴oxFOylxFOylxFOylxFOyl归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22三、典例精析探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)84524l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2y6xB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得26水面宽例题3（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。24yx(4,2)四、课堂练习5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)624yx4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.21yx32102192322168yxxy或22124yxyx或BC五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.抛物线的简单几何性质(2)复习：1、抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴12、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA补、焦点弦：焦点弦公式：),(11yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B),(22yx12pxx方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yx例2、已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点。（1）是否为定值？呢？（2）是否为定值？22(0)ypxp1122(,)(,)AxyBxy、12xx12yy11||||FAFBxOyFA),(11yxB),(22yx这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:例3:(课本第70页例5)过抛物线焦点F的直线交抛物线于AB、两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,D求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xyOABDFl例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),,2(0020xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB//xyOFABD变式题设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC||x轴，证明：直线AC经过原点O。22(0)ypxpxOABDFly由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且，30AOX例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。22(0)ypxp解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxo2112,ypx2222ypxAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以113tan303yx211,2yxp1123,||243.ypAByp(x1,y1)(x2,y2)例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。xoyFABMCND解：),(),(),,(2211yxMAByxByxA中点设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即)41(2yBCAD1.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别是()(A)2a(B)(C)4a(D))0(2aaxy等于q1p1q则p,a21a2yxF.PQ2.已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是：()(A)(B)(C)(D))0(22ppxyAOBOBOA且,pxpx3px23px25ABOF.yxCD3、AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）⑴1212,OAOByykkxx∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∴221212022yyyypp∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴1212122yypxxyy∴122ABpkyy∴直线AB：11122()pyyxxyy∴11121222pxpxyyyyyy∴21112121222ypxyypxyyyyy∵2211122,4ypxyyp∴2121224pxpyyyyy∴122(2)pyxpyy∴AB过定点（2p,0）.抛物线的简单几何性质(3)复习练习：1、已知抛物线，若的三个顶点都在该抛物线上，且点A的纵坐标为8，的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的斜率。232yxABCABC(4)求证：以抛物线的过焦点的弦为直径的圆必定与此抛物线的准线相切。22ypx2、过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点。(1)证明：直线AB过定点；22ypx(3)求的面积的最小值；AOB(2)求AB中点M的轨迹方程；直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践:(一)设而不求;(二)联立方程组,根与系数的关系;(三)大胆计算分析,数形结合活思维.抛