逆推与图解(李白喝酒)

逆推与图解金华职业技术学院师范学院周佩青【引例】有一次，李老师带着37个学生去郊外春游，休息时学生问老师：“老师你今年多少岁了？”老师说：“我的年龄乘3，减15后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数”。猜一猜，李老师今年多少岁？猜年龄老师年龄×3-15÷2+838有些应用题，叙述某一个未知量，经过一系列的变化后，告诉你最后的结果是多少，而要求原来的未知量。解答这类问题的关键在于“还原”，即从最后结果出发，根据题中所说的变化，逐步逆推回去。原题中说是加了的，逆推时就用减；原题中说是减了的，逆推时就用加；原题中说是乘了的，逆推时就用除以；原题中说是除以的，逆推时就用乘。直至推出所要求的未知数为止。这种解决问题的方法叫做逆推法，也叫还原法。用逆推法解题时，先按顺序画好框，再逆着往回填，每一步都是逆运算。逆推法【例1】杨老师有一张卡，先刷卡消费了钱的一半，又存入了200元，接着取款700元，现在还剩500元。卡上原有多少钱？顺序画图，倒序列式原有钱+200-700÷2500一、单变量的还原问题【例2】有一根绳子，第一次用去全长的一半，第二次用去余下的一半多4米，还剩9米。这根绳子全长多少米？顺序画图，倒序列式【例3】有一群猴子分一堆桃子，第一只猴子分了全部桃子的1/10,第二只猴子分了剩下桃子的1/9，第三只猴子分了这时剩下的1/8，……第九只猴子分了第八只猴子分后剩下的桃子的1/2，最后第十只猴子正好分到10个桃子。这堆桃子有多少个？第10只猴子正好分到10个根据条件“猴9拿走了猴8剩下的1/2”，把猴8剩下的桃子平均分成两份，猴9拿走1份，剩下1份，根据剩下的这份是10个，可推知猴9拿走的也是10个。根据条件“猴8拿走了猴7剩下的1/3”，把猴7剩下的桃子平均分成3份，猴8拿走1份剩下2份，根据剩下的2份是20个，可推知猴8拿走的那一份应该是10个。......每只猴子都是拿了10个，所以这堆桃子有100个。李白街上走，提壶去打酒。遇店加一倍，遇花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？【例4】李白喝酒诗（唐代天文学家张遂根据李白喜欢喝酒这个故事编出来的数学诗歌）原有-1-1×2×2×2-10喝光+1÷2+1÷2+1÷210问题1.画图表示三遇店和花，逆推原有多少酒？原有-1-1×2×2×2-10喝光+1÷2÷2÷2+1+110问题2.三遇店和花没有规定顺序，只要遇到三次店和三次花都可以，此题还有哪些可能？问题3.以上10种情况都是求原有多少酒？答案是不是一样呢？请自选两种情况算一算，看看你有什么发现？壶中酒最多是多少？最少呢？李白街上走，提壶去打酒。遇店加一倍，遇花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？问题4.以上10种情况，李白各喝了多少酒？结论：不管壶中原有多少酒，最终喝了都是3斗酒。【例5】抢30游戏制胜秘诀：1.争取让对方先数2.每次要抢到3的倍数，即3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。游戏规则：1.两个人参加比赛2.每个人每次数一个数或两个数，从1开始，谁先数到30谁就胜。【例6】原来甲杯和乙杯各有多少毫升？甲杯倒入乙杯40毫升两杯果汁共400毫升现在两杯果汁同样多二、双变量的还原问题【例7】三颗树上停着24只鸟，如果从第一棵树上飞4只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上飞5只鸟到第三棵树上去，那么三棵树上的小鸟的只数都相等。第二棵树上原来停留了多少只鸟？①最后三棵树上小鸟只数相等，每棵树都有小鸟24÷3=8(只)②第二棵树原有小鸟8-4+5=9(只)或8＋(5-4)=9(只)【例8】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲乙两个桶中各有多少千克油？甲乙最后24千克24千克乙桶中倒出1/5给甲桶之前48-32=18千克24÷4/5=30千克甲桶中倒出1/3给乙桶之前18÷2/3=27千克48-27=21千克【例9】某水果店进一批水果，运进的是原来的一半，原有的蔬菜卖出去一半后，恰好与现在的水果同样多。已知原有的水果800千克。求原有的蔬菜多少千克？原有蔬菜的一半800+800÷2=1200（千克）原有蔬菜1200×2=2400（千克）＝【例1】一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？【练习一】第1题某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室。这个班共有多少名少先队员？第2题一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。甲乙两地间的路程是多少千米？第3题把一堆苹果分给4个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走了这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15个。这堆苹果共有多少个？三、较复杂的还原问题【例2】筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7，还剩500米，这段公路全长多少米？【练习2】1.一堆煤，上午运走2/7，下午运的是上午余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2.用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又3公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷。这块地共有多少公顷？3.一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下的1/3少2吨，还剩下16吨。原来这批水泥有多少吨？【练习】有一堆乒乓球，把它分成四等份后剩下一个，取走三份又一个，剩下的再四等份后又剩下一个，再取走三份又一个，最后剩下的再四等份后还是剩下一个，问这堆乒乓球原来有多少个？解析：这一题的答案不唯一。“最后剩下的再四等份后还是剩下一个”，这时每份最少是一个球，也可能是2个、3个……。当最后每份是1个球时，这堆乒乓球最少。我们先求出这堆乒乓球最少有多少个。假设最后每份1个球，则第二次分之后剩下球：1×4+1=5（个）；第二次剩下的5个球也就是第二次四等份时，其中的一份。所以，第一次分之后剩下球：5×4+1=21（个）；第一次剩下的21个球也就是第一次四等份时其中的一份。所以这堆乒乓球原有21×4+1=85个所以，这堆乒乓球最少85个，当我们假设最后每份是2个、3个……时，可以得到不同的答案。【例3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲乙两个桶中各有多少千克油？【练习3】1.小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？2.甲乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少元？3.一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中剩下60克。原来瓶中有多少克酒精？【例4】甲乙丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样甲乙丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元？【练习4】1.甲乙丙三个班各有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班，再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样甲乙丙三个班的人数相等。原来甲班比乙班多多少人？2.甲乙丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多多少个球？3.甲乙丙三个仓库面粉袋数的比是6:9:5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲丙两仓库，则甲乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共有面粉多少袋？【例5】甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲运出1/4到乙，又从乙运出1/4到甲，这时甲乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？【练习5】1.甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲乙两仓库的粮食储量相等，原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？2.甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/5到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲乙两仓库的粮食储量相等，原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？3.甲乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9/10，原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？