数学建模案例之多变量有约束最优化

数学建模案例之多变量有约束最优化2010.10问题2[1]（续问题1）：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视机的生产。这样装配厂就有了额外的生产能力。这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？1．问题分析、假设与符号说明这里涉及的变量和问题１相同：s：19英寸彩电的售出数量（台）；t：21英寸彩电的售出数量（台）；p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；C：生产彩电的成本（美元）；R：彩电销售的收入（美元）；P：彩电销售的利润（美元）这里涉及的常量同问题１：两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元；每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制5000,8000st；假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即10000st；假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。因此，19英寸彩电的销售价格为：p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.0121英寸彩电的销售价格为：q=399-0.01×t-0.04×s因此，总的销售收入为：R=p×s+q×t生产成本为：C=400000+195×s+225×t净利润为：P=R-C2．建立数学模型根据前面的分析，原问题的数学模型如下：max(,)(3390.003)(3990.0040.01)(400000195225),..10000,5000,8000,0,0Pstastssttststststst（2.1）这里a=0.01。3．模型求解3.1求解方法----Lagrange乘子法这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange乘子法求解。第1步：确定目标函数P(s,t)的可行域S目标函数P(s,t)的可行域S（见图1）为：{(,):10000,05000,08000}Sststst200040006000800010000200040006000800010000可行域图1目标函数的可行域图第2步：计算P(,)(1440.020.007,1740.0070.02)PPstPstst（2.2）在可行域S的内部，0P，因此，最大值一定在边界上达到。第3步：计算边界上的极大值由于可行域由5条直线围成，因此需要分别计算P(s,t)在每一条边界线段上的极大值，下面分别计算，重点介绍如何计算P(s,t)在直线10000st上的最大值。（1）P(s,t)在约束直线10000st上的极大值此时，需要求解问题max(,)..(,)10000Pststgstst（2.3）其Lagrange乘子方程为Pg，即1440.020.0071740.0070.02stst与约束方程10000st联立求解，得到003846615424st（2.4）代入目标函数P(s,t)可得极大值为00(,)532308Pst。图2可行域及水平集图上面的图2给出了可行域以及P(s,t)的水平集图像。水平集P(s,t)=C为一簇同心环，这些环与可行域相交，水平集P(s,t)=532308为最小的环。这个集合刚刚接触到可行域S，且与直线10000st在极值点相切。由图2还可以看出，利用Lagrange乘子法在约束直线10000st上找到的临界点就是P(s,t)在整个可行域上的最大值。（2）P(s,t)在其它约束直线上的极大值采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对P(s,t)的极大值点，结果如下：直线段5000s：极大值点（5000，5000），极值为515000美元；直线段8000t：极大值点（2000，8000），极值为488000美元；直线段0s：极大值点（0，8000），极值为352000美元；直线段0t：极大值点（5000，0），极值为70000美元。第4步：比较边界极大值，求出最大值点比较函数P(s,t)在区域S的五段边界直线上的最大值，可得到P(s,t)在区域上的最大值为532308美元，在点(3846,6154)处取得。3.2结果解释公司为获得做大利润应生产3846台19英寸彩电和6154台21英寸彩电，从而每年的总生产量为10000台，这样的生产量用掉了所有额外的生产能力。能够供应的立体声电路板的资源限制不是关键的。这样可以得到预计每年532308美元的利润。4．灵敏性分析与影子价格我们先讨论19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性，即售出量s,t和利润P关于a的灵敏性，然后讨论最优产量s,t，利润P对可利用生产能力c=10000台的灵敏性。4.1最优解关于19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性分析仍利用Lagrange方法来求解该问题。Lagrange乘子方程为Pg，即14420.0071740.0070.02astst与约束方程(,)10000gstst联立求解，得到5000010003500001000365010003()()()1000026aaaaaast（2.5）计算可得2250000000(10003)50000000(10003)dsdaadtdsdadaa从而在点s=3846，t=6154,a=0.01处，有(,)0.77(,)0.48dsasdadtatdaSsaSta（2.6）将s(a)，t(a)代入P(s,t)，经过计算可得2dPdas代入数据a=0.01,P(3846,6154)=532308，可得(,)0.28dPaPdaSPa（2.7）图3画出了曲线s(a)和t(a)，图4画出了曲线P(a)。00.0050.010.0150.020200040006000800010000a美元台s,t台sata图3s和t关于a的曲线00.0050.010.0150.02500600700800a美元台P1000美元图4利润P关于a的曲线根据式（2.6）以及图3中s(a)和t(a)的曲线，我们可以得到：如果19英寸彩电的价格弹性系数a增加，我们要将一部分19英寸彩电的生产量转为生产21英寸彩电；如果这一系数减少，我们则要多生产一些19英寸的彩电，少生产一些21英寸的彩电。在任一种情况下，只要式(s,t)落在其他约束直线之间（0.007≤a≤0.022），总是可以生产总量为10000台的彩电。根据式（2.7）以及图4中P(a)的曲线，我们可以得出结论：如果19英寸彩电的价格弹性系数a增加，将会导致利润P下降。（同样的，与无约束问题相同），而且几乎所有的利润损失都是由19英寸彩电的销售价格的降低所导致的。而且通过计算表明，如果a=0.011，即使用s=3846，t=6154来代替由（2.5）式确定的新的最优解，也不会有太大的利润损失。梯度向量P指向目标函数值机利润增加最快的方向。现在即使不在最优点出，但是从最优值点到（3846，6154）的方向与P垂直，从而我们可以预期P在这点的值与最优值相差不大。应此，即使a有些小的改变，我们的模型也可以给出非常接近最优值的解。4.2最优解关于可利用生产能力c的灵敏性分析现在来考虑最优生产量s、t和相应的利润P关于每年可利用的生产能力c=1000（台）的灵敏性。我们只需要将原问题的约束条件(,)10000gstst改成更一般的形式(,)gststc（2.8）现在的可行域和图1中的情况类似，只是那条斜的约束直线移动了一些，但仍平行于直线10000st。对于10000附近的c值，最大值仍然出现在约束直线(,)gststc上满足条件Pg的点处。利用Lagrange乘子方法求解，可得到结果1330000261330000263(1060009)2000()()()cccctccs（2.9）经过简单计算，可得到1000012384610000126154(,)1.3(,)0.8dscsdcdtctdcSscStc（2.10）为了得到P关于c的灵敏性，我们计算24(10000)dPPdsPdtdcsdctdcc（2.11）这时，10000532308(,)240.45dPcPdcSPc（2.12）4.3影子价格导数dPdc的几何解释为：因为Pg，当c增加时，在几何上为沿着P的方向向外移动，且P的增加速度是g的增加速度的倍。导数dPdc有很重要的实际意义。每增加一个单位生产能力1c，会带来的利润增加额为24P美元，这称为影子价格。它代表了对这个公司来讲某种资源（生产能力）的价值。如果公司有意提高自己的生产能力（这是最关键的约束），它会愿意付出每单位不超过24美元的价格来增加生产能力；另一方面，如果有某种新产品，它可以获得每单位超过24美元的利润，公司就会考虑将用于19英寸和21英寸立体声彩电的生产能力转而投产这种新产品，也只有超过24美元，转产才是值得的。问题2中，由于其他的条件约束：5000,8000st都不是关键约束。最优利润y及生产量x1，x2对这些约束的系数当然一点也不敏感。x1或x2的上界的一个小变化会改变可行域，但最优解仍为（3846，6154）。因此，这些资源的影子价格为零。只有当19英寸彩电的电路板的数量减少或低于3846或21英寸彩电的电路板的数量减少或低于6154，就要考虑这个约束的问题。5．参考资料[1]MarkM.Meerschaert.数学建模方法与分析。北京：机械工业出版社，2005年