对数函数的性质及应用

人教A版必修一·新课标·数学第2课时对数函数的性质及应用人教A版必修一·新课标·数学目标要求1.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质．2．理解反函数的定义，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0，a≠1).人教A版必修一·新课标·数学热点提示对数函数可从下面三个方面去学习：(1)对数函数的基本问题；(2)对数函数的主要联系及主要题型；(3)对数函数的应用问题.人教A版必修一·新课标·数学人教A版必修一·新课标·数学1．对数函数的单调性：当a1时，y＝logax为增函数；当0a1时，y＝logax为减函数．2．复合函数y＝logaf(x)，x∈D(D为定义域)的单调性：设区间M⊆D，若a1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，M就是函数y＝logaf(x)的增(减)区间；若0a1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，M就是函数y＝logaf(x)的减(增)区间．3．形如y＝f(logax)的函数的最值，通常利用换元的思想，即令t＝logax，根据函数的定义域及对数函数的单调性确定t的取值范围D，即t∈D，转化为求函数y＝f(t)，t∈D的最值问题．人教A版必修一·新课标·数学4．形如logax＝f(x)的方程的根的个数问题，通常利用数形结合的思想方法，在同一直角坐标系下作出两函数y1＝logax与y2＝f(x)的图象，两图象交点的个数即为方程的根的个数．5．对数函数与指数函数互为反函数．因此，对数函数的定义域就是指数函数的值域，即为(0，＋∞)；对数函数的值域就是指数函数的定义域，即为(－∞，＋∞)．人教A版必修一·新课标·数学1．函数y＝log2x(1≤x≤8)的值域是()A．RB．[0，＋∞)C．(－∞，3]D．[0,3]答案：D人教A版必修一·新课标·数学答案：A人教A版必修一·新课标·数学3．不等式log3(1－x)log3(x＋2)的解集是________．解析：原不等式等价于1－x0，x＋20，1－xx＋2，解得－2x－12.答案：{x|－2x－12}人教A版必修一·新课标·数学4．函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.解析：当a1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，∴a＝31.∴a＝3符合题意；当0a1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2＝1，∴a＝21.∴a＝2不合题意．答案：3人教A版必修一·新课标·数学5．比较大小：(1)log0.81.5与log0.82；(2)log35与log64；(3)loga5.1与loga5.9(a0且a≠1)．人教A版必修一·新课标·数学解：(1)y＝log0.8x在(0，＋∞)内是减函数．∵1.52，∴log0.81.5log0.82.(2)∵log35log33＝1＝log66log64，∴log35log64.(3)当a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1loga5.9；当0a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1loga5.9.综上所述，当a1时，loga5.1loga5.9；当0a1时，loga5.1loga5.9.人教A版必修一·新课标·数学人教A版必修一·新课标·数学类型一对数函数的单调性问题【例1】讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．思路分析：本题为复合函数，要注意求解定义域和对a进行讨论．人教A版必修一·新课标·数学解：由3x2－2x－10得函数的定义域为xx1，或x－13.则当a1时，若x1，∵u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x－13，∵u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；当0a1时，若x1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x－13，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：定义域是解决本题的首要一步，对函数进行分类讨论是本题的关键一步．函数y＝logaf(x)可看作是y＝logat与t＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为增函数．若f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为减函数；当0a1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为减函数．若t＝f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为增函数．人教A版必修一·新课标·数学1人教A版必修一·新课标·数学思路分析：将常数1转化为对数式的形式，构造对数函数，利用对数函数的单调性求解．类型二利用对数函数的单调性解不等式【例2】(1)若loga251，则a的取值范围为________．(2)满足不等式log3x1的x的取值集合为________．人教A版必修一·新课标·数学解析：(1)loga251，即loga25logaa，当a1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga25logaa总成立；当0a1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由loga25logaa，得a25，即0a25.故0a25或a1.人教A版必修一·新课标·数学(2)log3x1＝log33，所以x满足的条件为x0log3xlog33，即x0，且x3.所以x的取值集合为{x|0x3}．答案：(1)0a25或a1(2){x|0x3}人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形．若非同解变形，最后一定要检验．对数不等式常见有三种类型：(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logaxlogbx的形式，可利用图象求解．人教A版必修一·新课标·数学2根据下列各式，确定实数a的取值范围：(1)log0.5alog0.53；(2)log1.5(2a)log1.5(a－1)．解：(1)考查函数y＝log0.5x，它在(0，＋∞)上是减函数．因为log0.5alog0.53，所以a3，且a0，即实数a的取值范围是0a3.人教A版必修一·新课标·数学(2)考查函数y＝log1.5x，它在(0，＋∞)上是增函数．因为log1.5(2a)log1.5(a－1)，所以2aa－1a－10，解得a1.即实数a的取值范围是a1.人教A版必修一·新课标·数学类型三对数函数的最值问题【例3】已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值．思路分析：要求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域．解：∵f(x)＝2＋log3x，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝log32x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.人教A版必修一·新课标·数学∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，就需1≤x2≤91≤x≤9.∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13.当log3x＝1即x＝3时，y＝13.∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：本例正确求解的关键是：函数y＝[f(x)]2＋f(x2)定义域的正确确定．如果我们误认为[1,9]是它的定义域．则将求得错误的最大值22.因此对复合函数的定义域的正确确定(即不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑内函数的值域是外函数定义域的子集)，是解决有关复合函数问题的关键．含有对数式的函数最值问题一般首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下对数式就在一定的范围内取值，问题利用换元法往往就转化为一个函数在一个区间上的最值问题．人教A版必修一·新课标·数学3人教A版必修一·新课标·数学类型四对数函数的综合应用【例4】已知函数f(x)＝loga[(1a－2)x＋1]在区间[1,2]上恒为正值，求实数a的取值范围．人教A版必修一·新课标·数学解：设u(x)＝(1a－2)x＋1，则f(x)＝logau(x)．因为f(x)在[1,2]上恒为正值，所以当a1时，u(x)在[1,2]上恒有u(x)1；当0a1时，u(x)在[1,2]上恒有0u(x)1.又u(x)在[1,2]上是一条线段，所以a满足：a1u11u21或0a10u110u21，人教A版必修一·新课标·数学即a11a－112a－31或0a101a－1102a－31，即a10a120a12或0a112a112a23，即12a23.故a的取值范围为(12，23)．人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：本题考查恒成立问题，借助于真数大于0及f(x)0，构造出关于a的不等式，注意对a的讨论，对于一次函数f(x)＝ax＋b，在某个区间[α，β]上恒大于0(或恒小于0)，由于一次函数在区间[α，β]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)，即fα0fβ0(或fα0fβ0)．人教A版必修一·新课标·数学由于对数函数y＝logax的图象和性质与底数a的取值范围密切相关．当a1时，函数y＝logax在定义域内为单调增函数，当0a1时，函数y＝logax在定义域内为单调减函数，因此当题目条件中所给的对数函数的底数含有参数时，常依底数的取值范围为分类标准进行分类讨论求解．人教A版必修一·新课标·数学4已知函数f(x)＝log21＋x1－x，x∈(－1,1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性并证明．解：(1)f(－x)＝log21＋－x1－－x＝log21－x1＋x＝log21＋x1－x－1＝－log21＋x1－x＝－f(x)．由此可见f(x)为奇函数．人教A版必修一·新课标·数学(2)函数为单调增函数，证明如下：在(－1,1)内任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝log21＋x11－x1－log21＋x21－x2＝log21＋x11－x11＋x21－x2＝log21＋x11－x21－x11＋x2＝log21－x11＋x2＋2x1－x21－x11＋x2人教A版必修一·新课标·数学＝log21＋2·x1－x21－x11＋x2，因为－1x1x21，所以x1－x21－x11＋x20，所以log21＋2·x1－x21－x11＋x2log21＝0，即f(x1)－f(x2)0，可见函数为单调增函数．人教A版必修一·新课标·数学1．对数函数的单调性要结合其图象理解和记忆．2．对数值大小的比较是对数函数的单调性、特殊点的具体应用．3．和对数函数有关的值域问题，也是利用了对数函数的单调性．4．复合函数y＝f[φ(x)]的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出y＝f(u)与u＝φ(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后