九年级数学：一元二次方程经典题型汇总

第1页共14页一元二次方程经典题型汇总一、一元二次方程的概念1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。一．填空题：1．关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,则m___________．2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.3．关于x的一元二次方程(m+3)x2+4x+m2-9=0有一个解为0,则m=______.4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是_____5、当m时，方程05122mxxm不是一元二次方程，当m时，上述方程是一元二次方程。二．选择题：6．在下列各式中①x2+3=x;②2x2-3x=2x(x-1)–1;③3x2-4x–5;④x2=-x1+2是一元二次方程的共有()A0个B1个C2个D3个7、下列方程中，一元二次方程是（）（A）221xx（B）bxax2（C）121xx（D）052322yxyx8．一元二次方程的一般形式是()Ax2+bx+c=0Bax2+c=0(a≠0)Cax2+bx+c=0Dax2+bx+c=0(a≠0)9．方程6x2-5=0的一次项系数是()A6B5C-5D010、关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a值为（）A、1B、1C、1或1D、12三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项一般形式二次项系数一次项系数常数项x(3x+2)=6(3x+2)(3–t)2+t2=9第2页共14页二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b0时，方程没有实数根。练习：用直接开平方法解下列一元二次方程1、0142x2、2)3(2x3、512x4、162812x2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式练习：1．用适当的数填空：①、x2+6x+=（x+）2；②、x2－5x+=（x－）2；③、x2+x+=（x+）2；④、x2－9x+=（x－）22．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．±3D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-17．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-10141010第3页共14页9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数10、用配方法解方程2420xx，下列配方正确的是（）A．2(2)2xB．2(2)2xC．2(2)2xD．2(2)6x11．用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0（4）41x2-x-4=012、用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c练习：用公式解法解下列方程。1、0822xx2、22314yy3、yy321324、01522xx5、1842xx6、02322xx4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式第4页共14页练习：用因式分解法解下列一元二次方程。1、xx222、0)32()1(22xx3、0862xx4、22)2(25)3(4xx5、0)21()21(2xx6、0)23()32(2xx三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42I当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△0时，一元二次方程没有实数根练习：一、选择题1、一元二次方程2210xx的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2、若关于x的一元二次方程02.2mxx没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．mlB．m-1C．mlD．m-13、一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根4、已知函数2yaxbxc的图象如图（7）所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根5、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A）x2＋4＝0（B）4x2－4x＋1＝0（C）x2＋x＋3＝0（D）x2＋2x－1＝06、下列方程中有实数根的是（）（A）x2＋2x＋3＝0（B）x2＋1＝0（C）x2＋3x＋1＝0（D）111xxx7、已知关于x的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A．m＞－1B．m＜－2C．m≥0D．m＜08、如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（）。A、2B、－2C、4D、－4二、填空题图（7）第5页共14页1、方程412x的解为。2、阅读材料：设一元二次方程20axbxc的两根为1x，2x，则两根与方程系数之间有如下关系：12bxxa，12cxxa．根据该材料填空：已知1x，2x是方程2630xx的两实数根，则2112xxxx的值为______3、关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______．4、方程220xx的解是5、已知方程230xxk有两个相等的实数根，则k6、方程x2+2x=0的解为9、已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式235(2)362xxxxx的值为＿＿＿＿10、已知1x是关于x的方程2220xaxa的一个根，则a_______．11、若关于x的一元二次方程220xxk没有实数根，则k的取值范围是．12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。13、已知25是一元二次方程240xxc的一个根，则方程的另一个根是．四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。五、一元二次方程应用题学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.1、增长率问题恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.第6页共14页2、商品定价益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？3、储蓄问题王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）4、趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？5、古诗问题读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？6、象棋比赛第7页共14页象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.7、情景对话春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？8、等积变形将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.图2Q