第六章-二次曲面的一般理论

解析几何教案第六章二次曲面的一般理论1第六章二次曲面的一般理论教学目的:本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点:通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点.基本概念二次曲面:在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211azayaxayzaxzaxyazayaxa（1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(zyx叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号),,(zyxF44342414231312233222211222222azayaxayzaxzaxyazayaxa141312111),,(azayaxazyxF242323122),,(azayaxazyxF343323133),,(azayaxazyxF443424144),,(azayaxazyxFyzaxzaxyazayaxazyx231312233222211222),,(zayaxazyx1312111),,(zayaxazyx2322122),,(解析几何教案第六章二次曲面的一般理论2zayaxazyx3323133),,(zayaxazyx3424144),,(即有恒等式成立:),,(zyxF),,(),,(),,(),,(4321zyxFzyxzFzyxyFzyxxF),,(),,(),,(),,(321zyxzzyxyzyxxzyx二次曲面),,(zyxF的系数矩阵:44342414343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA而由),,(zyx的系数矩阵为332313232212131211aaaaaaaaaA二次曲面（1）的矩阵A的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1zyxF，),,(2zyxF，),,(3zyxF，),,(4zyxF的系数。3322111aaaI3323232233131311221212112aaaaaaaaaaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI443424143433231324232212141312114aaaaaaaaaaaaaaaaI,4434343344242422441414111aaaaaaaaaaaaK4434243433232423224434143433131413114424142422121412112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaK解析几何教案第六章二次曲面的一般理论3§6.1二次曲面与直线的相关位置),,(zyxFxzaxyazayaxa13122332222112244342414232222azayaxayza(1)与过点),,(000zyx的直线ZtzzYtyyXtxx000(2)将(2)代入(1)得0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012zyxFtzyxZFzyxYFzyxXFtZYX（3）现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:1.0),,(ZYX,这时方程（3）是一个关于t的二次方程，它的判别式为：),,(),,(),,(),,(),,(0002000300020001zyxFZYXzyxZFzyxYFzyxXF100,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点;200,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点;300,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点2.0),,(ZYX100),,(),,(),,(000300020001zyxZFzyxYFzyxXF,直线与二次曲面有唯一交点;200),,(),,(),,(000300020001zyxZFzyxYFzyxXF,但0),,(000zyxF直线与二次曲面无交点300),,(),,(),,(000300020001zyxZFzyxYFzyxXF,且0),(00yxF，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.解析几何教案第六章二次曲面的一般理论4§6.2二次曲面的渐进方向与中心1.二次曲面的渐进方向定义5.2.1:满足0),,(ZYX的方向YX:：Z称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面),,(zyxFxzaxyazayaxa13122332222112244342414232222azayaxayza(1)和过点),,(000zyx的直线ZtzzYtyyXtxx000(2)当YX:：Z为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当ZYX::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。2.二次曲面的中心当ZYX::为二次曲面的非渐进方向时,即当02),(22212211YaXYaXaYX以非渐进方向为方向的直线ZtzzYtyyXtxx000与二次曲面交于两个点,由这两点决定的线段叫二次曲面的弦.定义6.2.2:若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C是二次曲面的对称中心,那么点C叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点),,(000zyxC是二次曲面的中心,其充要条件是:0),,(0),,(0),,(340330230130003240230230120002140130120110001azayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxF（6.2-1）推论坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有zyx,,的一次项。解析几何教案第六章二次曲面的一般理论5二次曲面的中心坐标，由方程组0),,(0),,(0),,(343323133242323122141312111azayaxazyxFazayaxazyxFazayaxazyxF（6.2-2）决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。根据（6.2-2）的系数矩阵A与增光矩阵B332313232212131211aaaaaaaaaA，342414332313232212131211aaaaaaaaaaaaB的秩r与R，有：103Rr，这时方程组的系数行列式03323132322121312113aaaaaaaaaI，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。202Rr，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。301Rr，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。40Rr，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。定义6.2.3:有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面,有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03I，成为非中心二次曲面的充要条件为03I例1椭球面1222222czbyax与双曲面1222222czbyax的3I分别为01100010001222222cbacba与01100010001222222cbacba所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为解析几何教案第六章二次曲面的一般理论60),,(0),,(0),,(232221czzyxFbyzyxFaxzyxF与0),,(0),,(0),,(232221czzyxFbyzyxFaxzyxF因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）例2抛物面zbyax22222.其3I=000001000122ba，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3zyxF，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。例3对于曲面0222czy3I=0100010000，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1zyxFyzyxF),,(2zzyxF),,(3，所以曲面有一条中心直线00zy，所给曲面为线心曲面。(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。)作业：8,6,4,2254P解析几何教案第六章二次曲面的一般理论7§6.3二次曲面的切线与切平面定义6.3.1:直线与二次曲面相交于互相重合的两个点,那么这条直线叫二次曲面的切线.重合的交点称之为切点.特殊情形:直线全部在二次曲面上,亦称之为二次曲面的切线,直线上每一点均是切点.（二次曲面的直母线线也是切线。）一.通过曲面上点),,(000zyx的切线方程),,(zyxFxzaxyazayaxa131223322221122022224434241423azayaxayza(1)通过曲面（1）的点),,(000zyx的直线ZtzzYtyyXtxx000（2）1.直线（2）曲面（1）相交于连个重合点的充要条件：0),,(ZYX0),,(),,(),,(2000300020001ZyxZFZyxYFZyxXF2.直线（2）整个属于曲面（1）的充要条件：0),,(ZYX0),,(),,(),,(2000300020001ZyxZFZyxYFZyxXF综合1、2、两种情况：通过曲面（1）上的点),,(000zyx的直线（2）成为曲面在这个点处的切线的充要条件是：0),,(),,(),,(2000300020001ZyxZFZyxYFZyxXF（3）10，),,(0001zyxF，),,(0002zyxF，),,(0003zyxF不全为零。由（2）得)(:)(:)(ZY000zzyyxxX：：，代入（3）得0),,()(),,()(),,()(000300002000010ZyxFzzzyxFyyZyxFxx（6.3-1）定义6.3.2二次曲面在一点处的一切切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面，这一点叫切点。20),,(0001zyxF，),,(0002zyxF，),,(0003zyxF全为零。（3）恒成立，它被任何的方向ZYX::所满足，因此通过点),,(000zyx的任何一条直线都是二次曲面的切线。解析几何教案第六章二次曲面的一般理论8定义6.3.3二次曲面（1）上满足条件0),,(),,(),,(000300020001zyxFzyxFzyxF的点),,(000zyx叫做二次曲面（1）的奇异点，简称奇点，二次曲面的非奇异点叫做二次曲面的正常点。定理6.3.1如果),,(000zyx是二次曲面（1）的正常点,那么曲面在点),,(000zyx处存在惟一的切平面，它的方程是（6.3-1）推论如果),,(000zyx是二次曲面（1）的正常点,那么在),,(000zyx处曲面的切平面方程是:0)()()()()()(44034024014002300130012033022011