人教版高中数学必修二考点练习：几何体的外接球和内切球

几何体的外接球和内切球一、外接球1.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________．2.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．3.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．4.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5.表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A.23πB.13πC.23πD.223π6.三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A.4π3B．4πC．8πD．20π7.若三棱锥S­ABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝π3，则球O的表面积为________．8.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是()A.43πB.83πC．2πD．4π9.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．10.已知A，B，C是球O的球面上三点，AB＝2，AC＝23，∠ABC＝60°，且三棱锥O­ABC的体积为463，则球O的表面积为________．11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.3π4C.π2D.π412.已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．13.四面体A­BCD中，若AB＝CD＝2，AC＝BD＝3，AD＝BC＝2，则四面体A­BCD的外接球的体积是________．14.正四棱锥SABCD的底面边长与各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则该球的体积为_______．15.已知表面积为4π的球有一内接四棱锥，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA⊥平面ABCD，则四棱锥S­ABCD的体积为________．16.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π17.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积的比为______．18.在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．二、内切球1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π62.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶93.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．4.若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.5.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．7.一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？8.设圆锥的底面半径为2，高为3，求：（1）内接正方体的棱长；（2）内切球的表面积．参考答案几何体的外接球和内切球一、外接球1.略2.略3.解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则ab＝3，bc＝5，ac＝15，解得a＝3，b＝1，c＝5，∴外接球半径为a2＋b2＋c22＝32，∴外接球表面积为4π×322＝9π.4.略5.如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.∵正四面体的表面积为433，∴4×34a2＝433，解得a＝233，∴正方体的棱长是63，又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝63×3，∴R＝22，∴球的体积为43π·223＝23π，故选A.6.解析：选C由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.7.解析：由题意，得三棱锥S­ABC是长方体的一部分(如图所示)，所以球O是该长方体的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，设球的半径为R，则2R＝AC2＋SA2＝42＋22＝25，所以球O的表面积为4πR2＝20π.答案：20π8.解析：选A由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积V＝43πR3＝43π.9.解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为22，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝52，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.答案：25π10.解析：∵AB＝2，AC＝23，∠ABC＝60°，∴在△ABC中，由正弦定理，得2sinC＝23sin60°，解得sinC＝12，又0°C120°，∴C＝30°，∴A＝90°，BC＝4＋12＝4，∵A，B，C是球O的球面上三点，∴△ABC外接圆的圆心为BC的中点，故△ABC外接圆的半径为2.设球心O到平面ABC的距离为d，∵三棱锥O­ABC的体积为463，∴13×12×2×23×d＝463，∴d＝22，∴球O的半径R＝22＋22＝23，∴球O的表面积为4πR2＝48π.答案：48π11.解析：选B设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以圆柱的体积V＝34π×1＝3π4.12.解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝3，又易得AM＝2，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝33.答案：3313.解析：作一个长方体，面对角线分别为2，3，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则x2＋y2＝2，x2＋z2＝3，y2＋z2＝4，则该长方体的体对角线为x2＋y2＋z2＝322，则该长方体的外接球即为四面体A­BCD的外接球，则外接球的半径为R＝x2＋y2＋z22＝324，体积为V＝43π3243＝928π.答案：928π14.【解析】O'OHDCBAS15.解析：由S球＝4πR2＝4π，解得R＝1，即2R＝2.四棱锥S­ABCD的直观图如图所示，其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以SA＝4－2＝2，所以四棱锥S­ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·SA＝13×1×2＝23.答案：2316.解析：选C如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝12R2.∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大，为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.17.略18.【解析】解法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝22a.在Rt△C′CO中，由勾股定理得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋22a2＝R2，所以R＝62a.从而V半球＝23R3＝2362a3＝62a3.又V正方体＝a3，因此V半球∶V正方体＝62a3∶a3＝6π∶2.解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝62a.从而V半球＝23R3＝2362a3＝62a3.又V正方体＝a3，因此V半球∶V正方体＝62a3∶a3＝6π∶2.二、内切球1.答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.2.设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为32，∴其体积比为43π×123∶43π×323＝1∶33.3.【解析】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝2a，所以S1＝4πr21＝πa2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，所以有2r2＝2a，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.4.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.答案：63π5.解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，即△ABC的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，故V＝13×π×3×3＝3π.答案：3π6.解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.答案：327.略8.略