力学竞赛辅导(2)(2013)

1力学主要公式（1）牛顿第二定律dtPdF（2）角动量定理dtLdM对于质点,角动量PrL对于刚体,角动量JL（3）保守力与势能关系pEF（4）三种势能重力势能mghEp弹性势能221kxEp万有引力势能rMmGEp（5）保守力的特点0LrdF作功与路径无关2力学主要公式（6）洛伦兹时空坐标变换和速度变换122cuutxxyyzz1222cuxcuttxxxvcuuvv2122211cuvcuvvxyy22211cuvcuvvxzz3力学主要公式（8）相对论的质量和动量02201mcmmvvmP（9）相对论能量2mcEmc2=Ek+m0c2（7）长度收缩和时间延缓221cu原长动长221cutt4(10)连续性方程2211SS—连续性定理(11)伯努利方程常量ghP221上式表明压强、动能体密度、势能密度三项之和在流线上各点处处相等。无粘滞性且不可压缩的流体力学主要公式5第25届（2008）考题例1：在一车厢内，由图示的水平桌面、质量分别为mA和mB的物块A和B、轻绳和质量可忽略的滑轮装置。（1）系统无摩擦，车厢具有竖直向上的加速度a0，则物块B相对车厢竖直向下的加速度a_____。（2）设与水平桌子侧面的间的摩擦因素μ≥mA/mB，系统其余部位无摩擦，今使车厢具有水平朝右的加速度a0，则a0的取值范围为_____时，能使物块B相对车厢不动。00)1(maF)(0BagmmmaAB00)2(maFB0mmgmaABAB竖直向下水平向左6第24届（2007）考题2m2m2m2mABC[例2]:在一个竖直的平面内有三个质点A、B、C，某一时刻它们恰好位于每边长为2米的正方形三个顶点上，方位如图所示。设此时C无初速地自由下落，B以1m/s的速度竖直向下运动，A则以初速度开始自由运动。不计空气阻力，如果A恰好在C落地时刻同时击中B、C，则C初始离地面的高度为_______m，的大小为_______m/s.AA6.19222112:gtthB221:gthC221sin2cos2:gtthtAAA7第28届（2011）考题例3:如图所示,小球从竖直平面的O点的斜上方抛出,抛射角为θ,速度为υ0,在此竖直平面内作OM射线与小球抛射方向垂直,小球到达OM射线时的速度分解为图示中与OM射线垂直方向的分量υ⊥和平行分量υ∥,则υ⊥=____,υ∥=____。yx水平线υ⊥υ∥υ0OM0tg02dtdgadtdgayyxxcos-sin0cos-sintgtgyxttgytgx0222/cos-2/sincos200gty时当8第24届（2007）考题例4：金属丝绕着铅垂轴弯成等距螺旋线，螺距h=2cm，旋转半径R=3cm，在金属丝上穿一小珠，小珠-由无初速度开始下滑，不计摩擦。小珠在第一圈螺旋末端处的水平方向速度的大小为_____m/s，总的加速度大小为_____m/s2。smgh/62.0sin2水平22naaa994.0)2(2sin22RhR106.0)2(cos22Rhh62.09412θABCh2πRυghmghm22/22222/94.12)/()cos(smRg水平9第22届（2005）考题例5：质量m、半径R的匀质圆板静止在光滑水平面上，极短时间内使其受水平冲量，有关的几何方位和参量如图所示。圆板中心O点将因此获得速度=，同时圆板将绕过O点的竖直轴以角速度ω=旋转。ImROIR/2mI/mRI/mtFImI/JtMmRtFmRtRF2212mRImRI/10第28届（2011）考题例6：如图所示，由三根相同的均匀细杆连成等边三角形刚体框架的每边长a，总质量M。将框架相对于过框架上任意一点P且垂直于框架平面的转轴的转动惯量记为Ip，所有Ip中最小者所对应的P点必定在________，所有Ip中最大者Imax与Imin之间的差值________。各边中点241Ma11第23届（2006）考题例7：如图所示，长为l、质量为M的匀质重梯上端A靠在光滑的竖直墙上，下端B落在水平地面上，梯子与地面的夹角为60℃。一个质量也为M的胖男子从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时，梯子尚未滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦因数μ=_____。令质量为2M/3的瘦男子替换胖男子从B端缓慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到达的最高位置与B端相距_____。60ºAB6/32/l对梯：未滑动时合外力为0合外力矩为012第28届（2011）考题例8：水平静止的车厢中,用一根劲度系数为k的轻弹簧水平静止地连接质量为m的小滑块，滑块与车厢底板间无摩擦。今如图示使车厢以固定的加速度a0水平向右运动，小滑块将在车厢内左右振动，振动频率ω,振幅A。000kxmaTFox平衡位置0aTF0x0解：任一位置220--dtxdmFT2200-)-(-dtxdmmaxxk022xmkdtxdmk2)t(cosAxcos0Ax0sin-Ax0kmaxA00mk/kma/013第22届（2005）考题例9：静质量为2m0的物块，从静止状态自发的分裂成两个相同的小物块，以一样的高速率v朝着相反的方向运动。若与外界无能量交换，那么每一小块的质量为，每一小块的静质量为。m02201cm221cmm静022022mmmccm2202211cmcmm静14第20届（2003）考题20041cV例10:飞船静止时体积为V0,平均密度为ρ0，相对地面以高速飞行时，地面参考系测得它的动能为Ek，平均密度为ρ。c5301625解：000Vm20020220202411cVcmccmcmmcEk02020162511cVcmVm15例11：如右图所示，底部开有小孔的瓶内盛水高度为H，静止直立时，小孔流速υ1=______。若改为用右手拇指堵住底部小孔，其余四指捏住瓶体，使其仍处于静止直立状态，而后右手将瓶子竖直上抛，略去空气阻力，此时小孔流速υ2=______。第26届（2009）考题HgH201021021gHPP因瓶子竖直上抛,瓶中的水受到一个向上的惯性力,故瓶中的水不会流出。16例12：在水平地面上的一个桶内盛有高度为h1+h2的水，同侧面有一小孔，孔与水面相距h1，水从小孔流出时的速度为υ1=______，对应水的射程为S1，如图所示。如果小孔的位置改取在水面下方h2处，对应的水平射程记为S2，则S2-S1=______。第23届（2006）考题ν1h1h2S112gh01021021ghPP1212gh同理2222ghtS112221gth2112hhS同理2122hhS17例13：如图，光滑绝缘水平桌面上有场强为的均匀电场，质量为m、半径为R的匀质簿圆板均匀带电，电量q0。可以过圆周上的P1或P2或P3点设置一个竖直、光滑、绝缘转轴，P1、P2、P3的方位已经在图中标出。设置转轴后，从静止释放的圆板便会作定轴转动，转动角速度的最大值依次记为ω1max、ω2max、ω3max，三个中最大者为_______。当角速度达到此值时，转轴提供的支持力大小为_____________。E第27届（2010）考题max3Eq)227(3145P1P2P3Emq18分析：45P1P2P3Emq根据能量守恒：F电因为带电体处在外电场中，所以具有初始的电势能。处在三个位置时的电势能分别为：0)()Ros45(:)(:)(:333222111减少减少减少RcEqWOPEqRWOPEqRWOP0212JWP3点的ω3max最大轴提供的支持力为：RmEqF2max3且2max322)21(21)45cos(mRmRRREqEq)227(31经过一段时间后，其电势能的改变分别为：OO319力学主要内容例14：两个均质圆盘转动惯量分别为J1和J2，开始时第一个圆盘以10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度。101r2r20力学主要内容解：受力分析1Ngm1ffgm22N1o2o无竖直方向上的运动gmfN11gmfN22以O1点为参考点计算系统的外力矩：))((2122rrgmNM0)(21rrf101r2rO1O221力学主要内容作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。对于盘1：以O1为轴111frdtdJ阻力矩111JfrdtddtJfrd1111Ngm1ffgm22N1o2o101r2r22力学主要内容dtJfrd222两边积分tfdtJrd022022tfdtJr0222于是有：22211011)(rJrJ不打滑条件：2211rr接触点处两盘的线速度相等可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ1Ngm1ffgm22N1o2o101r2r23第25届（2008）考题例15:长L的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定的细钉上,如图1所示。后因扰动,软绳朝右侧滑下,某时刻左侧绳段长度记为x,如图2所示。（1）x（xL/2）达到何值时，细钉为软绳提供的向上支持力N恰好为零？（2）N恰好为零时,突然将细钉撤去,再经过多长时间t,软绳恰好处于伸直状态？x2L2LL-x图1图2解:（1）xυL/2-xL/2L/2-xυ由能量守恒得)2/(2/212xLMgLxLMxLLg222124此时软绳向下动量为(左端动量向上,右端动量向下):2222)(xLLgLMMLxxLP由质心运动定理,得2222xLLMgMgdtdPMgNN恰好为零时，对应的x便为Lxx)22(410（2）x=x0时，有gLxLLg2122210（注意）dtdx25取初速方向竖直向下，大小为υ的自由落体参考系S，S系中软绳右侧绳段初速为零，左侧绳段竖直向上初速为x0L-x0υ0SC0B质心法：初始质心坐标为gL2000001xxLcMdxLxMdxLxMx2020)(2121xLLxLLxLxLxxBCc22420020由系统的动量：0000LxMLxMcc此后B、C在S系中一直作直线运动，经时间t，两点的距离增加为2LBCcBCBCt0gL4291400002xxLxL26动量法：S系中左侧的绳段无论剩余多少，向上速度υ0不变，右侧绳段增加ζ时，向上的速度记为υζ，过程态如右图所示，则x0-ζ(L-x0)+ζυ0S系υζ00)(MLMLxL00xL因此获得左、右速度差为0000xLxLdt时间内左侧向右侧输运绳段dζdtxLxLdtd0000)(2)(21dxLxLdtxt000000)(200002xxLxLtgL42914第22届（2005）考题例16：如图所示,光滑水平面上有一半径固定的圆环，长为2L的均质细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的B端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处