幂级数的典型应用毕业论文范文免费预览

各专业毕业论文范文尽在道客巴巴下载本科毕业论文题目:幂级数的典型应用院系：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学姓名：罗云云学号：091901301030指导教师：管毅教师职称：讲师填写日期：2013年5月2日贵阳学院毕业论文I摘要幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.关键词:幂级数;微分方程;不等式贵阳学院毕业论文IIAbstractPowerSeriesisakindofseriesoffunctionswithasimpleformat;itsapplicationisverybroad.Insomeoperations,itisdifficulttousethemethodofelementarymathematicstocalculate.Atthistime,somecomplexproblemscanbesimplifiedbyusingthequalityandexpansionofpowerseries.Basedontheinductivemethods,startingfromthedefinitionofpowerseries,andthengivetheconvergencedomainofthepowerseries,importanttheoremandpowerseriesexpansiontosummarizethefourapplicationsofthepowerseries:first,intheapplicationofapproximatecalculation;Second,intheapplicationofinequalityproof;Third,intheapplicationofdifferentialequations;Last,intheapplicationofthedeterminantcalculation.Keywords:Powerseries;Differentialequations;Inequality贵阳学院毕业论文III目录摘要.......................................................................................................错误!未定义书签。Abstract.................................................................................................................................II第一章前言.........................................................................................................................1第二章幂级数的基本知识.................................................................................................2第一节定义...................................................................................................................2第二节和函数...............................................................................................................2第三节幂级数收敛域...................................................................................................4第四节函数的幂级数展开...........................................................................................5一、函数的泰勒展开式.........................................................................................5二、常见函数的麦克劳林展开式.........................................................................6第三章幂级数的应用.........................................................................................................7第一节在近似计算中的应用.......................................................................................7第二节在不等式证明中的应用...................................................................................7第三节在微分方程中的应用.......................................................................................9第四节在行列式计算中的应用.................................................................................11致谢.......................................................................................................................................14参考文献...............................................................................................................................15贵阳学院毕业论文1第一章前言级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年就创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究.同时,他开始探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究.而今,级数的理论已经发展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进行数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用.幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中,很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.贵阳学院毕业论文2第二章幂级数的基本知识第一节定义在函数级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数级数0nna(ya)n=0a1a(ya)2a(ya)2na(ya)n,称为幂级数，其中0a，1a，，na，都是常数，称为幂级数的系数.特别地，当yax，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数nnnxa00axa122xannxa.第二节和函数设nnnxa0的收敛半径为R(R0),xSnnnxa0为和函数，则有以下定理成立：定理81若幂级数0nnnax与'101()nnnnnnaxnax的收敛半径分别是正数1r与2r,则12rr.证明首先证明12rr.001:0xxr,1011:xxxr.已知级数10nnnax收敛.nN,有nnnnnxaxxxnxna110010,已知极限001lim0nnxnxx,从而数列001nxnxx有界,即0,MnN,有001.nxnMxx于是,10nnnax1nnMax.根据比较判别法，级数101nnnxna绝对收敛，即12rr.贵阳学院毕业论文3其次证明,21rr.2000:rxx,2101:rxxx.已知级数111nnnxna收敛.nN,有1111000nnnnnxnaxxnxxa.已知极限0lim1100nnxxnx，所以数列1100nxxnx有界，即,,0NnM有Mxxnxn1100.于是,110nnnnxnaMxa.根据比较判别法，级数nnnxa00绝对收敛，即12rr.综上所证,12rr.定理82若幂级数0nnnax的收敛半径0r,则(,)xrr,它的和函数xS由0到x可积,且可逐项积分,即000()xxnnnStdtatdt101nnnxna.证明(,)xrr,0,使,,xrr.已知幂级数内闭一致收敛.和函数xS由0到x可积,且可逐项积分,即dttadttSnnxnx000)(101nnnxna.根据定理1,此幂级数的收敛半径也是r.定理83若幂级数0nnnax的收敛半径0r,则它的和函数xS在区间,rr可导,且可逐项微分,即(,)xrr,有xS'(nnnxa0)'10nnnxna.贵阳学院毕业论文4证明根据定理1,幂级数10nnnnax的收敛半径也是r.(,)xrr,0,使,,xrr.已知幂级数内闭一致收敛.和函数xS在x可导,从而和函数xS在区间,rr可导,且可逐项微分,即(,)xrr,有xS'(nnnxa0)'10nnnxna.第三节幂级数收敛域已知幂级数22100xaxaaxannnnnxa.1现在讨论幂级数1的收敛问题，显然幂级数1在0x处总是收敛的，我们有以下定理：定理4若幂级数1在000xxx收敛，则对满足不等式0xx的任何x，幂级数1收敛而