相似里面的射影定理

第一讲直角三角形中的相似问题1基础知识讲解2CONTENTS例题讲解习题专练4课程总结Part1直角三角形中的相似问题在Rt中，=90,有_____________________.ABCC222ABBCAC(1)一组锐角相等（AA判定相似）(2)SAS判定相似，夹角是直角(3)HL判定相似，但不能直接用(常用方法)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。如下图AA'MN一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，如下图ABA'B'MN如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB此图中有几个直角三角形，它们相似吗？1.AC2＝AB·AD3.BC2＝AB·BD2.CD2＝AD·BDABDC如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB由母子相似定理，得∽ADCACB推出：CADABCCDABAC所以：DAABAC2CADB同理，得：∽DBABCBABCBCBDBACCDACB2ACD∽ADBDCDCDADBDCDCBACCBD2CADB是高，则有中，在CDABCRtAC是AD,AB的比例中项。BC是BD,AB的比例中项。CD是BD,AD的比例中项。那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB此图中有几个直角三角形，它们相似吗？1.AC2＝AB·AD3.BC2＝AB·BD2.CD2＝AD·BDABDCABCDAC2＝AB·ADBC2＝AB·BDCD2＝AD·BD直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边的在斜边上射影的乘积ABCD射影的三个结论只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高CADB要用射影的三个结论必须要进行简单的证明结论BABDBC2∵CD时Rt△ABC斜边上的高∴△BCD∽△BAC∴BC2＝AB·BD如图,在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。例1CADB如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。例1解:答:CD,AC,BC的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBC1、如图,在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB若AD=1，AC=3，求BD的长。CADB例2：在△ABC中，∠BAC=90°，D为AC中点，AE⊥BD，E为垂足，求证：（1）（2）△DCE∽△DBC（3）∠CBD=∠ECDABCDE𝑪𝑫𝟐=𝑫𝑬∙𝑫𝑩2、如图,在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB,DF⊥AC，求证：AE·AB=AF·ACＣＦＤＥＢＡ1、已知，如图，FD⊥BC，AC⊥BF（1）、写出与△ABC相似的所有三角形。（2）、求证：△ABC∽△ADE。EDCBAFCADB2、如图,在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB若BC=５，CD=3，求AC的长。如图，圆0上一点C在直径AB上的射影为D,AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长CADOBABCDCD2＝AD·BDCEFFBCDF:,求证于∽例2.如图,在中,ABC,,EACDEDABCD于于.CBA分析:欲证CEF∽.CBA公共角ECFACB已具备条件要么找角,要么找边.CACFCBCECEADFBCEFBCFEA或证法一：例2.如图,在中,ABC,,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:,求证于∽ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CACFCBCEBCAECF∽.CBACEFCEADFB如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥ABCADB•运用射影结论时，注意前提条件和方法1.AC2＝AB·AD3.BC2＝AB·BD2.CD2＝AD·BD(1)在RT△ABC中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,已知任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条可求第三条.(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.你都弄懂了吗？