现代信号处理第3章-信号的频域分析

2020年12月7日机械工程学院机自所动态室1现代信号处理技术及应用ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication何正嘉訾艳阳张西宁西安交通大学西安交通大学研究生创新教育系列教材2020年12月7日机械工程学院机自所动态室2第三章信号的频域分析3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2020年12月7日机械工程学院机自所动态室3第三章信号的频域分析3.1信号的频谱和FFT算法及应用3.2相干分析及应用3.3频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.4倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.5信号调制与解调分析3.6时间序列建模与自回归谱分析3.7全息谱理论和方法2020年12月7日机械工程学院机自所动态室43.1信号的频谱和FFT算法及应用频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频率成分以及分布情况。信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱分析两大类。经典频谱分析是一种非参数、线性估计方法，其理论基础是信号的傅里叶变换。现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程参数模型的参数估计为基础。2020年12月7日机械工程学院机自所动态室53.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1傅里叶级数与离散频谱根据傅里叶级数理论，任何周期性信号均可展开为若干简谐信号的叠加。(3.1.1)其中，是静态分量,是基频,是第次谐波(),，是第次谐波的幅值,是第次谐波的相位。)(tx)sin()sincos()(1000010nnnnnntnAAtnbtnaatx0A00nn,...3,2,1n00aA22nnnbaAnn)arctan(nnnba2020年12月7日机械工程学院机自所动态室63.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1傅里叶级数与离散频谱各系数分别为(3.1.2)其中，是基本周期，是基频。...),2,1(dsin)(2)...,2,1(dcos)(2d)(1000000nttntxTbnttntxTattxTaTnTnTTT202020年12月7日机械工程学院机自所动态室73.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1傅里叶级数与离散频谱周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。图3.1.1周期信号的傅立叶级数分解)(txt)(A000203时域)(0频域2020年12月7日机械工程学院机自所动态室83.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1傅里叶级数与离散频谱傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)式(3.1.1)中可写为(3.1.6)其中离散频谱(3.1.7)tjtetj00sincos0)(21cos000tjtjeet)(21sin000tjtjeejt)...,2,1,0()(0neCtxtjnnndtetxTCTTtjnn220)(1)(tx2020年12月7日机械工程学院机自所动态室93.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1傅里叶级数与离散频谱为一复数，由周期信号确定。它综合反映了次谐波的幅值、相位及频信息。频率的取值范围也扩展到负频率。展开系数和与正负频率对应。在实轴上的合成结果正好形成了代表谐波幅值的实向量，而在虚轴上的合成结果正好抵消为零。周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三个特点。图3.1.2谐波幅值的向量分解nC)(txnnCnC0mI02AAeR2020年12月7日机械工程学院机自所动态室103.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2傅里叶变换与连续频谱当周期信号的周期趋于无穷大时，变成连续变量，求和符号Σ就变成积分符号∫，于是得到傅里叶积分。由(3.1.6)、(3.1.7)：(3.1.8)由于时间是积分变量，故上式括号内积分之后仅是的函数，记作(3.1.9)(3.1.10)式(3.1.9)为的傅里叶变换，式(3.1.10)为其傅里叶逆变换，互称为变换对。)(txT0nd]d)([21)(tjtjetetxtxttetxXtjd)()(d)(21)(tjeXtx)(tx2020年12月7日机械工程学院机自所动态室113.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2傅里叶变换与连续频谱为的连续频谱。一般是复函数，可写成(3.1.10)式中，||为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。非周期信号的幅值谱||和周期信号的幅值谱||很相似，但两者是有差别的：||的量纲与信号幅值的量纲一样；||的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带上的幅值。称由信号求出它的频谱的过程为对信号作谱分析。求矩形窗函数频谱的例子，见p49。)(tx)(X)(X)(|)(|)(jeXX)()(X)(XnCnC)(Xd)(tx)(X)(tw2020年12月7日机械工程学院机自所动态室123.1信号的频谱和FFT算法及应用傅里叶变换的性质1、线性叠加性质若，则2、时移性质若，则3、频移性质若，则4、时间伸缩性质设，a为正实数，则5、时间微分性质若，则6、时间积分性质若，且，则7、卷积定理若，，则及)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(22112211XaXatxatxa)()(Xtx0)()(0tjeXttx)()(Xtx)()(00Xetxtj)()(Xtx)(1)(aXaatx)()(Xtx)()(d)(dXjttx)()(Xtx0|)(0X)(1d)(Xjxt)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121XXtxtx)()(21)()(2121XXtxtx2020年12月7日机械工程学院机自所动态室133.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.3离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换对为正变换(3.1.15)逆变换(3.1.16)式中，是采样值，是序列点数，是采样间隔，是频域离散值的序号，是时域离散值的序号。采样间隔不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有正变换(3.1.17)逆变换(3.1.18)式中，。)(tx)1,...,2,1,0()()(/210NnetkxtNnXNnkjNk12/01()()(0,1,2,...,1)NjnkNnnxktXekNNNt()xktNtnkt)1,...,2,1,0()()(10NnWkxnXnkNNk)1,...,2,1,0()(1)(10NkWnXNkxnkNNnNjNeW/22020年12月7日机械工程学院机自所动态室143.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4快速傅里叶变换(FFT)当N=4时，离散傅里叶变换式(3.1.17)可写成(3.1.19)由于和可能都是复数，若计算所有的离散值，需要进行=16次复数乘法和次复数加法的运算。计算量将以进行增长。以Cooley-Tukey计算序列数长(为正整数)的算法来说明FFT的基本原理。将离散傅里叶变换式(3.1.17)写成如下形式(3.1.20)式中，0000012302460369(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)NNNNNNNNNNNNNNNNXxNW)(kx)(nX2N12)1(NN2NiN2i10/2NkNnkjknexX(),0,1,2,...,1,()nkXXnnNxxk2020年12月7日机械工程学院机自所动态室153.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4快速傅里叶变换(FFT)FFT先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。原始序列x0x1x2x3x4x5x6x71个长度为8的序列第一次抽取x0x2x4x6x1x3x5x72个长度为4的序列第二次抽取x0x4x2x6x1x5x3x74个长度为2的序列第三次抽取x0x4x2x6x1x5x3x78个长度为1的序列N=8时的计算流程图。逆变换的计算同理。计算量由降为x0x1x2x3x4x5x6x7x0x4x6x3x5x0x4x2x6x1x5x3x7x0x4x2x6x1x5x3x7x'0x'4x'2x'6x'1x'5x'3x'7-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1X0X1X2X3X4X5X6X7x7x1x2NW0NW0NW0NW0NW0NW0NW1NW1NW1NW0NW0NW2NW32NNN2log2020年12月7日机械工程学院机自所动态室163.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.5FFT的校正算法当FFT计算时，矩形窗引起能量泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。1）比值校正算法通过主瓣中心两侧的两根谱线的幅值和频率的大小，利用窗函数的频谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。设x为主瓣中心与左谱线的距离，由窗函数的频谱函数构成如下函数:(3.1.25)校正频率为，校正幅值，校正相位2）峰值搜寻算法优化，约束条件(3.1.33)取得极小值的x。rlrlyyxWx)()()()()(00Kk0()kyAWK/0Kk))(min(xU],0[x],0[x200])()([)(rlyyxWxWxU2020年12月7日机械工程学院机自所动态室173.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.6确定性信号的傅里叶谱分析确定性信号的傅里叶谱是个复数，因此它包含实频、虚频或幅频、相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：(1)实频特性及虚频特性表示实频，虚频。(2)幅频特性及相频特性表示幅频，相频(3)幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示将视为极坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示的幅频、相频率特性。傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。(1)幅值谱。，等权(权重均为1)谱。(2)均方谱。,变权重谱(权重取决于频率分量幅值)。(3)对数谱。，变权重谱(权重大小不同)。mXnxmImRmjXXXmRXmIXmjmmeAX22mImRmXXA)arctan(mRmImXXmXmXmA||mmXAmS22||mmmXASmL||loglogmmmXAL2020年12月7日机械工程学院机自所动态室183.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7功率谱密度函数功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率的分布。自功率谱密度函数是信号的自相关函数的傅里叶变换。(3.1.34)自功率谱密度函数是实偶函数。自功率谱密度函数的傅里叶逆变换为。(3.1.35)当时，函数的物理意义为信号能量的度量,于信号的均方值。(3.1.36)称为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱(3.1.37))(tx)(xRd)()(jxxeRS)(xS)(xS)(xRd)(21)(jxxeSR)(xS0d)(21)0(2xxxSR)(xS0)(0)(0)()(2)(xxxGSG2020年12月7日机械工程学院机自所动态室193.1信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7功率谱密度函数两组信号和的互谱密度函数定义为互相关函数的傅里叶变换(3.1.38)相应的傅里叶逆变换为(3.1.39)单边