数学物理方程谷超豪第三章答案

39第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21rfxxxun)(221nxxr是n维调和函数（即满足方程022212nxuxu），试证明221)(nrccrf)2(nrInccrf1)(21)2(n其中21,cc为常数。证：)(rfu,rxrfxrrfxuiii)()(''32''2222)(1)()(rxrfrrfrxrfxuiii312''212122)()()(rxrfrnrfrxrfxuniiniinii)(1)('rfrnrf即方程0u化为0)(1)('rfrnrfrnrfrf1)()('所以)1(1')(nrArf若2n，积分得1212)(crnArfn即2n，则221)(nrccrf若2n，则rArf1')(故InrAcrf11)(即2n，则rInccrf1)(212．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(r下，可以写成0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrru证：球坐标),,(r与直角坐标),,(zyx的关系：cossinrx，sinsinry，cosrz（1）222222zuyuxuu为作变量的置换，首先令sinr，则变换（1）可分作两步进行cosx，siny（2）sinr，cosrz（3）由（2）)cos()sin(sincosyuxuuyuxuu由此解出cossinsincosuuyuuuxu（4）再微分一次，并利用以上关系，得40)sincos(22uuxxu)sincos(sin)sincos(cosuuuu22222222sincossin2cosuuuuu22sincossin2)cossin(22uuyyu)cossin(cos)cossin(sinuuuuuuuuu2222222222coscossin2coscossin2sin所以uuuyuxu11222222222（5）uuzuuzuyuxu112222222222222再用（3）式，变换2222zuu。这又可以直接利用（5）式，得rururruzuu11222222222再利用（4）式，得ruruucossin所以)cossin(sin1sin111222222222222222rurururrururruzuyuxuuctgrrurururru222222222212sin11即0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrru3．证明拉普拉斯算子在柱坐标),,(zr下可以写成222221)(1zuurrurrru证：柱坐标),,(zr与直角坐标),,(zyx的关系cosrx，sinry，zz利用上题结果知rururruyuxu112222222222221)(1urrurrr所以222221)(1zuurrurrru414.证明下列函数都是调和函数（1）cbyax(a,b,c为常数)证：令cbyaxu,显然,022xu.022yu故0u，所以u为调和函数(2)xyyx222和,222xu,222yu。所以0u。u为调和函数令xyv2则,022xv022yv。所以0v。v为调和函数(3)322333yyxxyx和证：令233xyxu,622xxu,622xyu所以0u,u为调和函数。令323yyxv,622yxvyyv622。所以0v，v为调和函数。(4))(cossin,cos,sin为常数和nnxchnynxchnynxshnynxshny证：因shnynshnyy2)(chnynchnyy2)(nnxnnxxsin)(sin2coxnxnnxx2)(cos所以yyxxnxshnynxshny)sin()sin(0)sin(nxshny即故为调和函数nxshnysin同理，其余三个函数也是调和的（5）11)cos(sin)cos(ychxyychxshx和证：令1)cos(ychxshxu221)cos()cos(ychxxshychxchxxu)cos1()cos(2ychxychx)cos1()cos(2cos)cos(3222ychxshxychxyshxychxxu)cos2()cos(23yshxchxshxyshxcoxychx2)cos(sinychxyshxyuyshxychxychxyshxyu23222sin)cos(2)cos(sin)coscoscos()cos(23yshxchxyshxyshxchxychx)sin22cos2()cos(2232222yshxshxyshxychxyuxu0]2)sin(cos2[)cos(223shxyyshxychx1)cos(sinychxyv令2)cos(sinychxyshxxvyxshychxychxychxxvsin)cos(2)cos(sin23222)cossinsinsin2()cos(223yychxxychyxshychx42221)cos(sin)cos(cosychxyychxyyv)cos1()cos(2ychxychx)cos1(sin)cos(2)cos(sin3222ychxyychxychxychxyu)sin2cossinsin2()cos(23xychychxyyychx)sin2sin2sin2()cos(2232222yxychxyshychxyvxv0]sin2)(sin2[)cos(223yxshxchyychx所以u,v皆为调和函数。（5）。证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程（1）和rln证：为调和函数题知由第令uru,1,ln。故则显然令,0,0,0,2222vrvrvv01122222vrrvrrvu（2）为常数和nnrnrnn(sincos证：nruncosnnrruncos1nrnnruncos)1(222nrnuncos222所以0cos])1([2222nrnnrrnnunnn令nrvnsin则0sin])1([2222nrnnrrnnvnnn(3)cossincoslnrrrr和cossinlnrrr证：令.sincoslnrrru.sincos2coslncossinsinln.cos1sincos)1(ln2222rrrrurrrruurrurru0sincos2cosln1sincos)1(ln1cos1rrrrrrrru令cossinlnrrrvcossin)2(lnsincoscoslnsin1cossin)1(ln.2222rrrvrrrrvrrvrrv.0cossin)2(ln1cossin)1(ln1sin1rrrrrrrv6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板)0,0byax（上的稳定温度分布：.0),(,sin)0,(0),(),0(02222bxuaxxuyauyuyuxu解：令)()(),(yYxXyxu代入方程，得43YYxXxX)()(再由一对齐次边界条件0),(),0(yauyu得0)()0(aXX由此得边值问题0)()0(0aXXXX由第一章讨论知，当2)(ann时，以上问题有零解.sin)(xanxXn),2,1(n又0)(2nnYanY求出通解，得yannyannneBeAY所以1.sin)()(nyannyannxaneBeAyxu，由另一对边值，得11sin)(0sin)(sinnbannbannnnnxaneBeAxanBAax由此得，,2,10,3,20111neBeAnBABAbannbannnn，解得basheAba211basheBba211,3,20nBAnn代入),(yxu的表达式得xaeebashyxuybaybasin)(121),()()(xaybxshbashsin)(17．在膜型扁壳渠闸门的设计中，为了考察闸门在水压力作用下的受力情况，要在矩形区域byax0,0上解如下的非齐次调和方程的边值问题：00,00,0(00byyaxxuuuxuqpqpyu常数）试求解之（提示：令))((22gfyaxuv以引入新的未知函数v,并选择适当的gf,值，使v满足调和方程，再用分离变量法求解。）解：令),)(22gfyaxuv,),(222222222yuyvgfyxuxu)(2gfyuv又,gpyu故取,2,2qgpf则v满足调和方程0v即))((2122qpyaxuv代入原定解问题，得v满足44))((21),(20,00222200axqpbvaxqvvxvvbyyaxx用分离变量法求),(yxv，令)()(),(yYxXyxv代入方程及边值0,00axxvxv，得0)()0(0aXXXX及0YY求非零解)(xX，得,2,1,0,)212(2nannyanshByanchAYxanxXnnnn212212,212cos)(.所以0212cos)212212(),(nnnxanyanshByanchAyxv再由另一对边值得022212cos)(2nnxanAaxq022212cos)212