《信号检测与估计》第四章习题解答

《信号检测与估计》习题解答《信号检测与估计》第四章习题解答4.1已知发送端发送的信号分别为()tAtsωsin1=和()tAtsωsin0−=（Tt≤≤0），试利用最小错误概率准则设计一接收机，对如下假设做出判决，并画出接收机的结构形式。()()()tntstxH+=00：()()()tntstxH+=11：信道上迭加的噪声()tn服从均值为零、功率谱密度为2/0N的高斯白噪声。解：接收信号的似然函数分别为()()()()[]∫−−=TdttstxNkeHxf02101121σπ，()()()()[]∫−−=TdttstxNkeHxf02001021σπ根据最小差错概率准则有()()()()100110HPHPHxfHxfHH()()()()[]()()()[]{}()()1021011000120210HPHPeHxfHxfHHdttststxtstsNT−−−−∫=由于()()tsts01−=，得()()()()()()1040110010HPHPeHxfHxfHHdttstxNT∫=，()()()()β=∫10001ln410HPHPNdttstxHHT接收机结构形式为4.2现有两个假设()()()tntBtxH++=φω21cos：()()()tntBtAtxH+++=φωω211coscos：其中，φωω、、、、21BA均为确知常数，()tn为功率谱密度为2/0N的高斯白噪声，试设计一似然比接收机。解：设()()φω+=tBts21cos，()()φωω++=tBtAts210coscos，则接收信号的似然函数分别为()()()()[]()()()[]∫∫+−−−−==TTdttBtxNkdttstxNkeeHxf02200210cos1112121φωσπσπ00H()ts110H()tx∫T0×-β《信号检测与估计》习题解答()()()()[]()()()[]∫∫+−−−−−==TTdttBtAtxNkdttstxNkeexHf022100200coscos1102121φωωσπσπ根据最小差错概率准则有()()()()100110HPHPHxfxHfHH()()()()[]()()()[]{}()()1021011000120210HPHPeHxfHxfHHdttststxtstsNT−−−−∫=由于()()[]()()()[]{}()[](){}()[]()∫∫+++=∫+++=∫−−−−TTTTtdttxNAdtttABtANdttAtxttABtANdttststxtstsN01002112200121122000120210cos2coscos2cos1cos2coscos2cos121ωφωωωωφωωω得到()()()()[]()()10coscos2coscos20110021120010HPHPeHxfHxfHHdtttBtANAtdttxNATT+++∫∫=φωωωω()()()()[]βφωωωω=∫+++∫THHTdtttBtAHPHPANtdttx0211210001coscos2cos21ln2cos10接收机结构形式同上图，只是判决门限不同。4.3输入信号为()⎩⎨⎧≤≤=其他00Ttats试求在白噪声背景下，其匹配滤波器的冲激响应、传输函数、输出信号波形和输出峰值信噪比。解：信号的频谱为()()()jωajωadtadttsjωTjTtjtjtjωωωω-0-T0---e-1eeeS=−===∫∫∞+∞()()()()TjTjTjTjjωωajωaNjωNjωωωωω-0-0-0e12e1e2eS2H−=−==∗由白噪声下的匹配滤波器冲激响应公式可知()()tTsNth−=02Tt≤≤0输出信噪比为()∫−=T020max2SNRdttTsN令tT−=τ，则dtd−=τ《信号检测与估计》习题解答()()∫∫==−=T00220T020max222SNRNTadsNdttTsNττ输出信号()()()()()()()∫∫∫=−−=−=T00002TTodxsNdttTxtTsdttTxthTxτττ4.4数字调幅（ASK）通信系统中，信源是二元的，且等概率产生0和1，0H和1H假设对应接收信号为()()tntxH=：0()()()TttntAytxH≤≤+=01：衰减系数A是由通信信道产生的均值为零方差为2aσ的高斯随机变量。信号()ty是确定的，()tn是均值为零，功率谱密度为2/0N的加性白噪声。试确定最小错误概率的准则的最佳接收机。解：略4.5二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为()()TttntAtxH≤≤+=0sin00ω：()()TttntAtxH≤≤+=02sin01ω：假设两种信号是等概率发送的，()tn为零均值，功率谱密度为2/0N的白噪声。试用最小错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。解：()tAts012sinω=，()tAts00sinω=由高斯白噪声条件下二元确知信号的判决规则()()β100001)(-)(HHTTdttstxdttstx∫∫这里，[]()TsTAlNEElNdttstslNT002000010002021002co12sin81ln2)(21ln2)()(21ln2ωωωβ−+=−+=−+=∫由上式可知()βωω100001-co2sin)(HHTdttstAtx∫对应的接收机模型如题4.5图所示。令()∫=TdttstAtxI0001-co2sin)(ωω()TTAE000214sin48ωωω−=，()TTAE000202sin24ωωω−=，()()()TTAdttstsRT0002010sin323sin6ωωω−==∫则判决规则变为β10HHI两种错误判决的概率分别为∫+∞=βdIHIfHDP)|()|(001×-+β)(tx()1-co2sin00tstAωω10H选择题4.5图最佳接收机结构图00H选择+∫T0《信号检测与估计》习题解答∫∞−=βdIHIfHDP)|()|(110平均错误概率eP为∫∫∞−∞+=+=ββdIHIfdIHIfHDPHPHDPHPPe)|(21)|(21)|()()|()(10101010[]00ERHIE−=[][]2010022|IREEENHIVarσ=−+=[]REHIE-11=[][]2010122|IREEENHIVarσ=−+=定义两信号的平均能量为[]2/01EEE+=，两信号的时间相关系数为∫==TdttstsEERr010)()(1/（1||≤r）。则I的方差可写为)1(02rENI−=σ故两种假设下检测统计量I的条件概率密度函数为[]2202)(021)|(IERIIeHIfσσπ−−−=[]2212)(121)|(IREIIeHIfσσπ−−−=第一类错误概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−==∫∫∫∞+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∞+−−00)1(022)1(201)1(12122222121)|(02202NrEerfudeudedueHDPNrEuuNrEuπππ第二类错误概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−=−==∫∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∞+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∞+−−−−−∞−−01)(0202)(2)(210)1(121)(1211222221121121)|(1221212NrEerfREerfvdevdedvedveHDPIREvvREvREvIIIσβππππσβσβσβ《信号检测与估计》习题解答因为信号等概发送，所以21)()(10==HPHP平均错误概率为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+=0101010)1(121)|()()|()(NrEerfHDPHPHDPHPPe其中()()TTTAEEE00002102sin24sin81621ωωωω−−=+=，()()TTTTTTTTATTAERr000000000200022sin64sin324sin316sin242sin24sin816sin323sin6/ωωωωωωωωωωωω−−−=−−−==4.6设信号()⎩⎨⎧∞≤≤=000ttAts求与该信号匹配的滤波器的冲激响应。解：略4.7设矩形包络的单个中频脉冲信号为()ttArectts0cosωτ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=其中，()⋅rect为矩形函数，即()⎪⎩⎪⎨⎧≤=2/02/1ττxxxrect信号()ts的波形如题图7所示。求信号()ts的匹配滤波器的系统传输函数()ωH和冲激响应()th，若匹配滤波器输入噪声()tn是零均值，功率谱密度为2/0N的白噪声，求匹配滤波器的输出信噪比SNR。解：略)(tst2τ−2τ题图4.7