高中数学导数极值点偏移问题专题-导数极值点偏移问题

1导数极值点偏移专题目录一、极值点偏移二、极值点偏移的判定定理三、不含参数的偏移问题四、含参数的偏移问题五、含绝对值的偏移问题六、含指数的偏移问题七、含函数选取的偏移问题八、含函数偏移问题的极终手段一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf，则函数)(xf关于直线mx对称；可以理解为函数)(xf在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(xf为单峰函数，则mx必为)(xf的极值点.如二次函数)(xf的顶点就是极值点0x，若cxf)(的两根的中点为221xx，则刚好有0212xxx，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(xf的极值点为m，且函数)(xf满足定义域内mx左侧的任意自变量x都有)2()(xmfxf或)2()(xmfxf，则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数21,xx2满足)()(21xfxf，则221xx与极值点m必有确定的大小关系：若221xxm，则称为极值点左偏；若221xxm，则称为极值点右偏.[KS5UKS5UKS5U]如函数xexxg)(的极值点10x刚好在方程cxg)(的两根中点221xx的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；2.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；3.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，令2210xxx，求证：0)('0xf；4.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，令2210xxx，求证：0)('0xf.三、问题初现，形神合聚★函数xaexxxf12)(2有两极值点21,xx，且21xx.证明：421xx.3所以)2()2(xhxh，所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221xhxhxhxhxh，因为21x，242x，)(xh在)2,(上单调递减所以214xx，即421xx.★已知函数xxfln)(的图象1C与函数)0(21)(2abxaxxg的图象2C交于QP,，过PQ的中点R作x轴的垂线分别交1C，2C于点NM,，问是否存在点R，使1C在M处的切线与2C在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.4四、招式演练★过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．5因为，不妨设，．设，则，当时，，在单调递增，[KS5UKS5UKS5U]所以，所以当时，．因为，所以，从而，因为，在单调递减，所以，即．6一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，方程0)(xf的解分别为21,xx，且bxxa21，（1）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极（小）大值点0x右（左）偏；（2）若)2()(201xxfxf，则021)(2xxx，即函数)(xfy在区间),(21xx上极（小）大值点0x右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(xfy，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点0x，则函数)(xf的单调递增（减）区间为),(0xa，单调递减（增）区间为),(0bx，由于bxxa21，有01xx，且0202xxx，又)2()(201xxfxf，故2012)(xxx，所以021)(2xxx，即函数极（小）大值点0x右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221xxm）左慢右快（极值点右偏221xxm）左快右慢（极值点左偏221xxm）左慢右快（极值点右偏221xxm）7二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(xf的极值点0x；（2）构造一元差函数)()()(00xxfxxfxF；（3）确定函数)(xF的单调性；（4）结合0)0(F，判断)(xF的符号，从而确定)(0xxf、)(0xxf的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(xf满足)()(21xfxf，0x为函数)(xf的极值点，求证：0212xxx.（1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点0x；假设此处)(xf在),(0x上单调递减，在),(0x上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U（2）构造)()()(00xxfxxfxF；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0xxfxfxF的形式.[KS5UKS5U]（3）通过求导)('xF讨论)(xF的单调性，判断出)(xF在某段区间上的正负，并得出)(0xxf与)(0xxf的大小关系；假设此处)(xF在),0(上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000xfxfxFxF，从而得到：0xx时，)()(00xxfxxf.（4）不妨设201xxx，通过)(xf的单调性，)()(21xfxf，)(0xxf与)(0xxf的大小关系得出结论；接上述情况，由于0xx时，)()(00xxfxxf且201xxx，)()(21xfxf，故)2()]([)]([)()(2002002021xxfxxxfxxxfxfxf，又因为01xx，0202xxx且)(xf在),(0x上单调递减，从而得到2012xxx，从而0212xxx得证.8（5）若要证明0)2('21xxf，还需进一步讨论221xx与0x的大小，得出221xx所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212xxx，故0212xxx，由于)(xf在),(0x上单调递减，故0)2('21xxf.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点，证明)(0xxf与)(0xxf（或)(xf与)2(0xxf）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212xxx或0)2('21xxf的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U三、对点详析，利器显锋芒★已知函数)()(Rxxexfx.(1)求函数)(xf的单调区间和极值；(2)若21xx，且)()(21xfxf，证明：221xx.9∵12x，∴122x，)(xf在)1,(上单调递增，∴212xx，∴221xx.★函数3434)(xxxf与直线)31(aay交于),(1axA、),(2axB两点.证明：221xx.★已知函数2()lnfxxx，若1x2x，且)()(21xfxf，证明：421xx.【解析】由函数2()lnfxxx单调性可知：若)()(21xfxf，则必有212xx，。所以241x，而)4ln(42ln2)4()(111111xxxxxfxf，令)4ln(ln422)(xxxxxh，则0)4()2(8)4()4()4(2)4(2411)4(22)('22222222222xxxxxxxxxxxxxxxxh所以函数)(xh在)2,0(为减函数，所以0)2()(hxh，所以0)4()(11xfxf即)4()(11xfxf，所以)4()(22xfxf，所以421xx.10★已知函数221xfxxeax有两个零点.设12,xx是fx的两个零点，证明：122xx.四、招式演练★已知函数22xagxex，其中,2.71828aRe为自然对数的底数，fx是gx的导函数.（Ⅰ）求fx的极值；（Ⅱ）若1a，证明：当12xx，且12fxfx时，120xx.【答案】(1)当0a时，fx无极值;当0a时,fx有极小值lnlnfaaaa;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（Ⅰ）xfxgxeax的定义域为,，xfxea当0a时，0fx在,x时成立11fx在,上单调递增，fx无极值.当0a时，0xfxea解得lnxa由0fx得lnxa；由0fx得lnxa所以fx在,lna上单调递减，在ln,a上单调递增，故fx有极小值lnlnfaaaa.（Ⅱ）当1a时，xfxex的定义域为,，1xfxe，由10xfxe，解得0x.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x,000,fx0+fx单调递减极小值单调递增∵12xx，且12fxfx，则120xx（不妨设12xx）12★已知函数2lnfxxax，其中aR（1）若函数fx有两个零点，求a的取值范围；（2）若函数fx有极大值为12，且方程fxm的两根为12,xx，且12xx，证明：124xxa.【答案】（1）102ae;（2）见解析.（1）当0a时，0fx函数fx在0,上单调递增，不可能有两个零点（2）当0a时，10,2fxxax10,2a12a1,2afx0-fx极大值fx的极大值为111ln222faa，由11ln022a得102ae；因为22ln0aaaafeeaeaae，所以fx在1,2aea必存在一个零点；显然当x时，0fx，13所以fx在1,2a上必存在一个零点；[KS5UKS5U][KS5UKS5U]14三、不含参数的偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数()()xfxxexR，如果12xx，且12()()fxfx.证明：122.xx构造函数()(1)(1),(0,1]Fxfxfxx，则0)1()1(')1(')('21xxeexxfxfxF，所以()Fx在(0,1]x上单调递增，()(0)0FxF，也即(1)(1)fxfx对(0,1]x恒成立.由1201xx，则11(0,1]x，所以11112(1(1))(2)(1(1))()()fxfxfxfxfx，即