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2016届毕业生毕业论文题目:非线性方程求重根方法研究院系名称:理学院专业班级:学生姓名:学号:指导教师:教师职称:2016年05月20日I摘要随着科学技术的发展,在现代科学和工程技术中,经常会遇到大量而复杂的数学计算问题。这些问题常常归结为非线性方程求根的问题。求解非线性方程的单根已经具有了比较成熟和丰富的构造技术手段。例如,其中在工程和其他领域的科学计算中的广泛应用迭代算法,它从某个初始点出发,由迭代格式生成一种收敛于方程根的序列。这些方法在面对非线性方程单根的时候可以很好的解决问题,然而这些方法在求解非线性方程的重根时,构造的算法显得相当的复杂甚至是无效的。举一个简单的例子就是平时我们经常研究的经典的牛顿迭代法。它对方程的单根二阶收敛,但是对于于方程的重根只能线性收敛,并且收敛速度变慢。因此非线性方程重根的高阶,尤其是最优解的迭代格式如何构造是一项具有挑战性的工作。直到现在,这方面的研究成果还不是很丰富。目前绝大多数求重根的最优阶迭代算法都是利用方程重根的重数信息来构造迭代格式。对于各种求非线性方程求重根这一问题,国内的许多数学界的前辈对此从不同的方面展开了研究,并在不同方面取得了一定的成果。全文共分为三章第一章概述了相关的基础理论知识,主要介绍了非线性方程求根的研究背景和及研究现状,着重介绍了迭代法的相关知识,探讨了几种求非线性方程的解的方法,论述了各个解法的优缺点。第二章主要介绍了迭代法在非线性方程求重根的情形下的应用,给出了几种新的修正迭代格式,从各个思路对非线性方程求重根进行了探讨,并且了解了一些其他求非线性方程重根的方法。第三章是总结了全文主要的讨论内容。关键词:非线性二分法迭代收敛迭代加速牛顿法修正牛顿法重根阶乘法IITitleNonlinearequationrootmethodandstudyAbstractWiththedevelopmentofscienceandtechnology,peopleoftenencounterlargeandcomplicatedmathematicsproblemsinthemodernscienceandengineering.Thesequestionsoftencomedowntotheproblemofnonlinearequationfortheroot.Tosolvethenonlinearequationofsinglehasmaturetechnologyandrichstructure.Forexample,oneinthefieldofengineeringandotherscientificcomputingiswidelyusedintheiterativealgorithm,Itstartingfromaninitialpoint,generatedbytheiterativeformatasequenceconvergestoequationroot.Thesemethodswhenhefacedthenonlinearequationofsinglecanwellsolvetheproblem,however,thesemethodsinsolvingthenonlinearequationsofroots,thestructureofthealgorithmisquitecomplexandeveninvalid.AsimpleexampleofthisisweoftenstudyatordinarytimestheclassicNewtoniterationmethod.Ittotheequationofsinglesecondorderconvergence,butfortheequationofdoublerootonlylinearconvergence,andslowconvergencespeed.Sotherootsofthehigh-ordernonlinearequation,especiallyiterativeformathowtoconstructtheoptimalsolutionisachallengingjob.Untilnow,theresearchachievementsarenotveryrich.Atpresent,mostofthemultiplerootsoptimalorderiterativealgorithmisusingheavyequationrootofmultiplicityinformationtoconstructtheiterativeformat.Foravarietyofheavytononlinearequationsfortherootofthisproblem,thepredecessorofmanydomestictothisfromdifferentaspects,andhasobtainedcertainachievementsindifferentaspects.FulltextisdividedintothreechaptersThefirstchaptersummarizestherelatedbasictheoreticalknowledge,mainlyintroducedtheresearchbackgroundofnonlinearequationfortherootandandtheresearchstatus,introducestheiterativemethodofrelatedknowledge,discussesseveralwaystothesolutionofnonlinearequations,theadvantagesanddisadvantagesofeachmethodarediscussed.ThesecondchaptermainlyintroducestheiterativemethodinnonlinearequationsIIIrootsunderthesituationoftheapplication,severalnewmodifiediterativeformatisgiven,fromdifferentwayofthinkingarediscussedinthispaper,therootsofnonlinearequationsforheavyandlearningsomeothernonlinearequationrootmethod.Thethirdchaptersummarizesthefulltextisthemaindiscussion.Keywords:NonlineardichotomyiterationsconvergenceaniterativeaccelerationNewton'smethodmodifiedNewtonmethodmultiplerootfactorialmethodIV目录1非线性方程求根的基本方法...........................................11.1非线性方程求根................................................11.2迭代法的基本思想..............................................21.3二分法........................................................21.4不动点迭代法..................................................31.5迭代法的收敛性................................................41.6迭代法的收敛速度..............................................61.7迭代加速收敛的方法............................................71.7.1Aitken加速方法..........................................71.7.2Steffensen迭代方法......................................81.8Newton法.....................................................91.8.1Newton法及其收敛性......................................91.8.2简化牛顿法及牛顿下山法.................................102非线性方程求重根方法研究..........................................122.1牛顿法在非线性方程求重根时的情形..............................122.1.1已知根的重数m........................................132.1.2未知根的重数m........................................142.2牛顿法在非线性方程求重根的情形下的一些改进方法...............152.2.1无约束优化技术中的牛顿法...............................152.2.2Aitken加速外推下的修正牛顿法求重根重数..............182.3一些其他的求非线性方程重根的方法..........................20总结...............................................................22参考文献.........................................................2311非线性方程求根的基本方法在现实中的许多问题中,如流体力学,弹性力学,电路和电力系统计算,非线性规划等众多领域,常常会遇到求解非线性方程的问题。设有非线性方程:()0fx(1.1)其中函数()fx可以是超越函数,则其对应方程为超越方程如5sinxex。函数()fx也可以是多项式函数,即1110()nnnnfxaxaxaxa其中0na,则称方程(1.1)为n次代数方程。当1,2n时,求根公式大家都是熟悉的,当3,4n时。也可以在数学手册上查到根的公式和求法。然而当5n时,就无法用加减乘除和根式等运算的一般公式来准确写出根的表达式,所以需要数值方法来解决这个问题。对于代数方程有单根和重根的概念,这可推广到一半方程(1.1).如果存在常数s使得()0fx,则称s是方程(1.1)的根,又称x是函数()fx的零点。若()fx能分解为()()()mfxxxx其中()0x,则称x是方程(1.1)的m重根和()fx的m重零点。当1m时,x为方程(1.1)的单根和()fx的单零点。1.1非线性方程求根只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式,对于大多数非线性方程,通常只能得到一定精度的近似解。一般情况下,多用迭代方法解决此类问题。首先,要判断根是否存在:判断(1.1)是否有根,如果有,存在几个根?例如对多项式方程,n次方程就有n个根。其次,确定跟的隔离:把有根区间分成较小的子区间,每个自取件或者有一个根或者没有根,这样可以将有根子区间内的任一点都可以看成该根的一个近似值;最后,使根精确化:对根的某个初始值设法逐步细化,使之达到一定的精度要2求。1.2迭代法的基本思想迭代法是一种逐步逼近的方法,其基本思想是利用迭代格式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,直到满足精度要求为止。迭代的基本步骤有两步:首先提供根的
本文标题:非线性方程求重根方法研究
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